1) Évaluons la limite de $\frac{\sin \left(x\right)}{x}$ quand $x\to 0$

ⓘ La fonction sin est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument

La limite de $\sin \left(x\right)$ est $\sin \left(0\right)$ quand $x\to 0$

Calculons : $\sin \left(0\right)$

ⓘ Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de $0$ radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable : $\sin \left(0\right)$ = $0$

$0$

Pour : $\frac{\sin \left(x\right)}{x}$, on tombe sur la limite indéterminée : 0/0 quand $x$ tend vers $0$

2) On cherche un développement limité pour l'expression : $\sin \left(x\right)$

En utilisant la formule de Taylor : $\sin \left(A\right)+\cos \left(A\right)·(X-A)$ de la fonction sin, on calcule le développement limité pour X=$x$ au point A=$0$ d'ordre N=1

$\sin \left(0\right)+\cos \left(0\right)·(x+0)$

ⓘ Le sinus correspond à l'ordonnée (axe vertical) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de $0$ radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable : $\sin \left(0\right)$ = $0$■Le cosinus correspond à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de $0$ radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable : $\cos \left(0\right)$ = $1$■Additionner 0 ne change rien : $x+0$ = $x$■Multiplier par 1 ne change rien : $1·x$ = $x$

$0+x$

3) On refait le calcul en utilisant le développement de Taylor : $x$

$\frac{x}{x}$

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun $x$ : $\frac{x}{x}$ = $1$

$1$

Donc la limite de $\frac{\sin \left(x\right)}{x}$ est $1$ quand $x\to 0$

▶Limite :   $1$