limite x->0 tan(x)/x — solution étape par étape

1) Évaluons la limite de

\frac{\tan (x)}{x}

quand

x \to 0

ⓘ La fonction tan est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument

La limite de

\tan (x)

est

\tan (0)

quand

x \to 0

Évaluons :

\tan (0)

ⓘ La tangente est le rapport de l'ordonnée (axe vertical) à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, à condition que l'abscisse ne soit pas nulle, c'est une valeur remarquable :

\tan (0)

0

0

Pour

\frac{\tan (x)}{x}

, on obtient la forme indéterminée : 0/0 lorsque

x

tend vers

0

2) On cherche un développement limité pour l'expression :

\tan (x)

Avec la formule de Taylor :

\tan (A) + (1 + {\tan (A)}^{2}) \cdot (X - A)

de tan, on calcule le DL pour X=

x

au point A=

0

d'ordre N=1

\tan (0) + (1 + {\tan (0)}^{2}) \cdot (x + 0)

ⓘ La tangente est le rapport de l'ordonnée (axe vertical) à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

0

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, à condition que l'abscisse ne soit pas nulle, c'est une valeur remarquable :

\tan (0)

0

■Additionner 0 ne change rien :

x + 0

x

0 + (1 + 0^{2}) \cdot x

3) On refait le calcul en utilisant le développement de Taylor :

x

\frac{x}{x}

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x

\frac{x}{x}

1

1

Donc la limite de

\frac{\tan (x)}{x}

est

1

quand

x \to 0

▶Limite :

1