limite x->0 tan(x)/x
Evaluons la limite de <math><mfrac><mrow><mi>tan</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> La limite de <math><mi>tan</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> est <m><math><mn>0</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> Pour : <math><mfrac><mrow><mi>tan</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>, on tombe sur la <u>limite indéterminée</u> : <m>0/0</m> quand <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mn>0</mn></math> On cherche un développement limité pour l'expression : <math><mi>tan</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> En utilisant la formule de Taylor : <math><mi>tan</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo> + </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><msup><mrow><mi>tan</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>X</mi><mo> -</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></math> de la fonction <m>tan</m>, on calcule le développement limité pour <m>X</m>=<math><mi>x</mi></math> au point <m>A</m>=<math><mn>0</mn></math> d'ordre <m>N</m>=1 <math><mi>tan</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo> + </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><msup><mrow><mi>tan</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> + </mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math> <math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>·</mo><mi>x</mi></math> On recommence avec le développement de Taylor : <math><mi>x</mi></math> <math><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> <math><mn>1</mn></math> Donc la limite de <math><mfrac><mrow><mi>tan</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> est <m><math><mn>1</mn></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> ▷<b>Résultat : <math><mn>1</mn></math></b><span style='font-size:smaller'> (le calcul a nécessité 11 étapes et 1 ms)</span>
