limite x->0+ x*ln(x) — solution étape par étape

1) Calculons la limite de

x \cdot \ln (x)

lorsque

x \to 0

⁺

ⓘ C'est une limite de référence de la fonction ln

La limite de

\ln (x)

est

-∞

quand

x \to 0

⁺

Pour :

x \cdot \ln (x)

, on tombe sur la limite indéterminée :

0 \cdot -∞

quand

x

tend vers

0

2) Pour lever la forme indéterminée 0 × ∞, on réécrit le produit

x \cdot \ln (x)

sous forme de quotient

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}

ⓘ Un nombre non nul divisé par une quantité qui tend vers 0 devient infiniment grand, les signes donnant +∞ ou -∞

La limite de

\frac{1}{x}

est

+∞

quand

x \to 0

⁺

Pour :

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}

, on tombe sur la limite indéterminée :

- \frac{+∞}{+∞}

quand

x

tend vers

0

3) On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

4) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

5) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x})

Pour

p1

1

q2

x

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

6) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (1)

ⓘ La dérivée d'une constante est nulle :

\frac{d}{d x} (1)

0

0

7) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

1

8) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}}

ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot x

0

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

1 \cdot 1

1

\frac{0 - 1}{x^{2}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 1

-1

- \frac{1}{x^{2}}

9) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x})

- \frac{1}{x^{2}}

- \frac{1}{x^{2}}

Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

ⓘ Diviser revient à multiplier par l'inverse :

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

- \frac{1 \cdot x^{2}}{x}

- \frac{x^{2}}{x}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

- \frac{x^{2}}{x}

- x

- x

La limite de

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

Donc la limite de

x \cdot \ln (x)

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

▶Limite :

0