limite x->0+ x*ln(x)
1) Calculons la limite de <math><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> lorsque <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> La limite de <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> est <m><math><mi>-∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> Pour : <math><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math>, on tombe sur la <u>limite indéterminée</u> : <math><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>-∞</mi></math> quand <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mn>0</mn></math> 2) Pour lever la forme indéterminée <m>0 × ∞</m>, on réécrit le produit <math><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> sous forme de quotient <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math> La limite de <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> est <m><math><mi>-∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> La limite de <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> est <m><math><mi>+∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> Pour : <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math>, on tombe sur la <u>limite indéterminée</u> : <math><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>+∞</mi></mrow><mrow><mi>+∞</mi></mrow></mfrac></math> quand <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mn>0</mn></math> Pour <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math>, on obtient la <u>forme indéterminée</u> : <math><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>+∞</mi></mrow><mrow><mi>+∞</mi></mrow></mfrac></math> lorsque <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mn>0</mn></math> 3) Appliquons la règle de l’Hôpital (<m>limite de a/b = limite de a'/b'</m>) en dérivant numérateur et dénominateur : Effectuons la dérivation : <math><mo>(</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)'</mo></math> <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> 4) Effectuons la dérivation : <math><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)'</mo></math> Pour <math><mfrac><mrow><mi>u1</mi></mrow><mrow><mi>v2</mi></mrow></mfrac></math> = <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>, on utilise la formule de dérivation : <math><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>u1</mi></mrow><mrow><mi>v2</mi></mrow></mfrac><mo>)'</mo><mo> = </mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>u1</mi><mo>)'</mo><mo>·</mo><mi>v2</mi><mo> -</mo><mi>u1</mi><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>v2</mi><mo>)'</mo></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v2</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> 5) Effectuons la dérivation <math><mi>u1</mi></math> : <math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)'</mo></math> <math><mn>0</mn></math> 6) Effectuons la dérivation <math><mi>v2</mi></math> : <math><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)'</mo></math> <math><mn>1</mn></math> 7) On évalue la dérivée résultante (<math><mfrac><mrow><mi>u1</mi></mrow><mrow><mi>v2</mi></mrow></mfrac></math>)' : <math><mfrac><mrow><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>1</mn><mo>·</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> <math><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> À partir des dérivées, on obtient une nouvelle fraction dont on peut calculer la limite : <math><mfrac><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math> <math><mo>-</mo><mfrac><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math> <math><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>·</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> <math><mo>-</mo><mi>x</mi></math> La limite de <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math> est <m><math><mn>0</mn></math>⁻</m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> Donc la limite de <math><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> est <m><math><mn>0</mn></math>⁻</m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> ▷<b>Réponse : <math><mn>0</mn></math></b><span style='font-size:smaller'> (le calcul a pris 26 étapes et 9 ms)</span>
