limite x->0+ x*ln(x) — solution étape par étape

1) Calculons la limite de

x \cdot \ln (x)

lorsque

x \to 0

⁺

La limite de

\ln (x)

est

-∞

quand

x \to 0

⁺

Pour :

x \cdot \ln (x)

, on tombe sur la limite indéterminée :

0 \cdot -∞

quand

x

tend vers

0

2) Pour lever la forme indéterminée 0 × ∞, on réécrit le produit

x \cdot \ln (x)

sous forme de quotient

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}

La limite de

\frac{1}{x}

est

+∞

quand

x \to 0

⁺

Pour :

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}

, on tombe sur la limite indéterminée :

- \frac{+∞}{+∞}

quand

x

tend vers

0

3) On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

Effectuons la dérivation :

{(\ln (x))}^{'}

\frac{1}{x}

4) Dérivons :

{(\frac{1}{x})}^{'}

Pour

u1

1

v2

x

, on applique la formule de dérivation :

{(\frac{u1}{v2})}^{'} = \frac{{(u1)}^{'} \cdot v2 - u1 \cdot {(v2)}^{'}}{{v2}^{2}}

5) Effectuons la dérivation

u1

{(1)}^{'}

0

6) Dérivons

v2

{(x)}^{'}

1

7) On évalue la dérivée résultante (

\frac{u1}{v2}

)' :

\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}}

\frac{0 - 1}{x^{2}}

- \frac{1}{x^{2}}

À partir des dérivées, on obtient une nouvelle fraction dont on peut calculer la limite :

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

- x

La limite de

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

Donc la limite de

x \cdot \ln (x)

est

0

⁻ quand

x \to 0

⁺

▷Réponse : $0$