limite x->1 (x^2-1)/(x-1) — solution étape par étape

1) Évaluons la limite de

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

quand

x \to 1

ⓘ La puissance d'exposant constant est continue ici : on remplace la base par sa limite

La limite de

x^{2}

est

1

quand

x \to 1

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x^{2} - 1

est

1 - 1

quand

x \to 1

⇥1.1) Évaluons :

1 - 1

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥

0

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x - 1

est

1 - 1

quand

x \to 1

⇥1.2) Évaluons :

1 - 1

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥

0

Pour

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

, on obtient la forme indéterminée : 0/0 lorsque

x

tend vers

1

2) Pour trouver la limite, on factorise le numérateur et le dénominateur :

x^{2} - 1

Pour

x^{2} - 1

, on reconnaît une différence de deux carrés :

x^{2} - 1^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = x

b = 1

Facteurs trouvés :

(x + 1) \cdot (x - 1)

3) Réduisons :

\frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x - 1

\frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}

x + 1

x + 1

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x + 1

est

1 + 1

quand

x \to 1

Calculons :

1 + 1

ⓘ On part de

1

et on avance de

1

sur la droite des nombres :

1 + 1

2

2

Donc la limite de

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

est

2

quand

x \to 1

▶Limite :

2