limite x->1 (x^3-1)/(x-1) — solution étape par étape

1) Calculons la limite de

\frac{x^{3} - 1}{x - 1}

lorsque

x \to 1

ⓘ La puissance d'exposant constant est continue ici : on remplace la base par sa limite

La limite de

x^{3}

est

1

quand

x \to 1

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x^{3} - 1

est

1 - 1

quand

x \to 1

⇥1.1) Calculons :

1 - 1

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥

0

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x - 1

est

1 - 1

quand

x \to 1

⇥1.2) Calculons :

1 - 1

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥

0

Pour :

\frac{x^{3} - 1}{x - 1}

, on tombe sur la forme indéterminée : 0/0 quand

x

tend vers

1

2) On utilise la règle de l’Hôpital, la limite de

\frac{a}{b}

étant celle de

\frac{a'}{b'}

, en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{3} - 1)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{3} - 1)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{3})

■La dérivée de

x^{n}

est

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

3 x^{2}

4) Dérivons :

\frac{d}{d x} (x - 1)

ⓘ On dérive une somme en dérivant chacun de ses termes, puis en additionnant les dérivées :

\frac{d}{d x} (x - 1)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

1

Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

ⓘ La puissance d'exposant constant est continue ici : on remplace la base par sa limite

La limite de

x^{2}

est

1

quand

x \to 1

ⓘ La limite d'un produit de limites finies est le produit des limites

La limite de

3 x^{2}

est

3

quand

x \to 1

Donc la limite de

\frac{x^{3} - 1}{x - 1}

est

3

quand

x \to 1

▶Limite :

3