limite x->1- tan(pi*x/2) — solution étape par étape

1) Calculons la limite de

\tan (π \cdot \frac{x}{2})

lorsque

x \to 1

⁻

La limite de

\frac{x}{2}

est (

\frac{1}{2}

)⁻ quand

x \to 1

⁻

ⓘ La limite d'un produit de limites finies est le produit des limites

La limite de

π \cdot \frac{x}{2}

est

π \cdot \frac{1}{2}

quand

x \to 1

⁻

⇥1.1) Évaluons :

π \cdot \frac{1}{2}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

π \cdot \frac{1}{2}

\frac{π \cdot 1}{2}

\frac{π}{2}

⇥

\frac{π}{2}

ⓘ Pour déterminer le côté d'approche du pôle, on étudie la différence entre l'argument et sa limite■La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x - 1

est (

1 - 1

)⁻ quand

x \to 1

⁻

⇥1.2) Évaluons :

1 - 1

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥

0

ⓘ La limite d'un produit de limites finies est le produit des limites

La limite de

π \cdot (x - 1)

est (

π \cdot 0

)⁻ quand

x \to 1

⁻

⇥1.3) Évaluons :

π \cdot 0

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

π \cdot 0

0

⇥

0

La limite de

\frac{π \cdot (x - 1)}{2}

est

0

⁻ quand

x \to 1

⁻

ⓘ C'est une limite de référence de la fonction tan

Donc la limite de

\tan (π \cdot \frac{x}{2})

est

+∞

quand

x \to 1

⁻

▶Limite :

+∞