limite x->2 (x^2-4)/(x-2) — solution étape par étape

1) Calculons la limite de

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

lorsque

x \to 2

ⓘ La puissance d'exposant constant est continue ici : on remplace la base par sa limite

La limite de

x^{2}

est

2^{2}

quand

x \to 2

⇥1.1) Évaluons :

2^{2}

⇥ⓘ Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

⇥

4

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x^{2} - 4

est

4 - 4

quand

x \to 2

⇥1.2) Calculons :

4 - 4

⇥ⓘ On part de

4

et on recule de

4

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

4 - 4

0

⇥

0

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x - 2

est

2 - 2

quand

x \to 2

⇥1.3) Calculons :

2 - 2

⇥ⓘ On part de

2

et on recule de

2

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

2 - 2

0

⇥

0

Pour :

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

, on tombe sur la limite indéterminée : 0/0 quand

x

tend vers

2

2) Pour trouver la limite, on factorise le numérateur et le dénominateur :

x^{2} - 4

Pour

x^{2} - 4

, on reconnaît une différence de deux carrés :

x^{2} - 2^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = x

b = 2

Facteurs trouvés :

(x + 2) \cdot (x - 2)

3) Simplifions :

\frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x - 2

\frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}

x + 2

x + 2

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x + 2

est

2 + 2

quand

x \to 2

Évaluons :

2 + 2

ⓘ On part de

2

et on avance de

2

sur la droite des nombres :

2 + 2

4

4

Donc la limite de

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

est

4

quand

x \to 2

▶Limite :

4