limite x->3 (x^2-9)/(x-3) — solution étape par étape

1) Calculons la limite de

\frac{x^{2} - 9}{x - 3}

lorsque

x \to 3

ⓘ La puissance d'exposant constant est continue ici : on remplace la base par sa limite

La limite de

x^{2}

est

3^{2}

quand

x \to 3

⇥1.1) Évaluons :

3^{2}

⇥ⓘ Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥

9

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x^{2} - 9

est

9 - 9

quand

x \to 3

⇥1.2) Évaluons :

9 - 9

⇥ⓘ On part de

9

et on recule de

9

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

9 - 9

0

⇥

0

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x - 3

est

3 - 3

quand

x \to 3

⇥1.3) Calculons :

3 - 3

⇥ⓘ On part de

3

et on recule de

3

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

3 - 3

0

⇥

0

Pour

\frac{x^{2} - 9}{x - 3}

, on obtient la forme indéterminée : 0/0 lorsque

x

tend vers

3

2) Pour trouver la limite, on factorise le numérateur et le dénominateur :

x^{2} - 9

Pour

x^{2} - 9

, on reconnaît une différence de deux carrés :

x^{2} - 3^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = x

b = 3

Facteurs trouvés :

(x + 3) \cdot (x - 3)

3) Simplifions :

\frac{(x + 3) \cdot (x - 3)}{x - 3}

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x - 3

\frac{(x + 3) \cdot (x - 3)}{x - 3}

x + 3

x + 3

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

x + 3

est

3 + 3

quand

x \to 3

Calculons :

3 + 3

ⓘ On part de

3

et on avance de

3

sur la droite des nombres :

3 + 3

6

6

Donc la limite de

\frac{x^{2} - 9}{x - 3}

est

6

quand

x \to 3

▶Limite :

6