limite x->infini (1+1/x)^x — solution étape par étape

1) Calculons la limite de

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

lorsque

x \to +∞

La limite de

\frac{1}{x}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

La limite de

1 + \frac{1}{x}

est

1

quand

x \to +∞

Pour :

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

, on tombe sur la limite indéterminée :

1^{+∞}

quand

x

tend vers

+∞

Cas 1^{±∞} : on réécrit

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

\exp (x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x}))

puis on étudie la limite de

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

La limite de

\ln (1 + \frac{1}{x})

est

0

quand

x \to +∞

Pour

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

, on obtient la forme indéterminée :

+∞ \cdot 0

lorsque

x

tend vers

+∞

Avec la formule de Taylor :

\ln (A) + \sum_{k = 1}^{N} {(-1)}^{(k + 1)} \cdot \frac{{(X - A)}^{k}}{k A^{k}}

de ln, on calcule le DL pour X=

1 + \frac{1}{x}

au point A=

1

d'ordre N=1

\ln (1) + \sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{(k + 1)} \cdot \frac{{(1 + \frac{1}{x} - 1)}^{k}}{k \cdot 1^{k}}

0 + \sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{(k + 1)} \cdot \frac{{(0 + \frac{1}{x})}^{k}}{k}

\sum_{k = 1}^{1} \frac{{(-1)}^{(k + 1)} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\frac{{(-1)}^{(1 + 1)} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1}}{1}

\frac{{(-1)}^{2}}{x}

\frac{1}{x}

2) On recommence avec le développement de Taylor :

x \cdot \frac{1}{x}

1

La limite de

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

est

1

quand

x \to +∞

Donc la limite de

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

est

\exp (1)

quand

x \to +∞

3) La valeur approchée de :

e

est :

\approx 2.7183

▷Réponse : $e$

▷▷Numérique:

\approx 2.7183