limite x->infini (1+1/x)^x — solution étape par étape

1) Évaluons la limite de

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

quand

x \to +∞

ⓘ Un nombre divisé par une quantité qui devient infiniment grande tend vers 0

La limite de

\frac{1}{x}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

1 + \frac{1}{x}

est

1

quand

x \to +∞

Pour

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

, on obtient la forme indéterminée :

1^{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

Cas 1^{±∞} : on réécrit

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

\exp (x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x}))

puis on étudie la limite de

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

ⓘ La fonction ln est continue, sa limite est sa valeur à la limite de son argument

La limite de

\ln (1 + \frac{1}{x})

est

\ln (1)

quand

x \to +∞

Évaluons :

\ln (1)

ⓘ ln(1) = 0, car exp(0) = 1 :

\ln (1)

0

0

Pour

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

, on obtient la forme indéterminée :

+∞ \cdot 0

lorsque

x

tend vers

+∞

Avec la formule de Taylor :

\ln (A) + \sum_{k = 1}^{N} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(X - A)}^{k}}{k A^{k}}

de ln, on calcule le DL pour X=

1 + \frac{1}{x}

au point A=

1

d'ordre N=1

\ln (1) + \sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(1 + \frac{1}{x} - 1)}^{k}}{k \cdot 1^{k}}

ⓘ ln(1) = 0, car exp(0) = 1 :

\ln (1)

0

■Les parenthèses se calculent en premier :

1 - 1

0

0 + \sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(0 + \frac{1}{x})}^{k}}{k}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{1}{x}

\frac{1}{x}

0 + \sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

■Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

{(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\frac{{(-1)}^{k + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\sum_{k = 1}^{1} \frac{{(-1)}^{k + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

ⅰ

\sum_{k = 1}^{1} \frac{{(-1)}^{k + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\frac{{(-1)}^{1 + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1}}{1}

\frac{{(-1)}^{1 + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1}}{1}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

{(-1)}^{1 + 1} \cdot \frac{1}{x}

\frac{{(-1)}^{1 + 1} \cdot 1}{x}

\frac{{(-1)}^{1 + 1}}{x}

■L'exposant se calcule avant la puissance :

1 + 1

2

\frac{{(-1)}^{2}}{x}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

\frac{1}{x}

2) On recommence avec le développement de Taylor :

x \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

x \cdot \frac{1}{x}

\frac{x \cdot 1}{x}

\frac{x}{x}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x

\frac{x}{x}

1

1

La limite de

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

est

1

quand

x \to +∞

Donc la limite de

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

est

e

quand

x \to +∞

▶Limite :

e

3) La valeur numérique de :

e

est :

▷

\approx 2,7183