limite x->infini x/e^x
Evaluons la limite de <math><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> La limite de <math><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> est <m><math><mi>+∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> Pour <math><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math>, on obtient la <u>forme indéterminée</u> : <math><mfrac><mrow><mi>+∞</mi></mrow><mrow><mi>+∞</mi></mrow></mfrac></math> lorsque <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mi>+∞</mi></math> Pour : <math><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math>, on tombe sur la <u>limite indéterminée</u> : <math><mfrac><mrow><mi>+∞</mi></mrow><mrow><mi>+∞</mi></mrow></mfrac></math> quand <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mi>+∞</mi></math> On utilise la règle de l’Hôpital (<m>limite de a/b = limite de a'/b'</m>) en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur : Effectuons la dérivation : <math><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)'</mo></math> <math><mn>1</mn></math> Dérivons : <math><mo>(</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup><mo>)'</mo></math> <math><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> À partir des dérivées, on obtient une nouvelle fraction dont on peut calculer la limite : La limite de <math><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> est <m><math><mi>+∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> La limite de <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> est <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> Donc la limite de <math><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> est <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> ▷<b>Réponse : <math><mn>0</mn></math></b><span style='font-size:smaller'> (traitement : 13 étapes, 2 ms)</span>
