limite x->infini x/e^x — solution étape par étape

1) Évaluons la limite de

\frac{x}{e^{x}}

quand

x \to +∞

ⓘ Un nombre plus grand que 1 élevé à une puissance infiniment grande devient infiniment grand, un nombre entre 0 et 1 tend vers 0

La limite de

e^{x}

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour

\frac{x}{e^{x}}

, on obtient la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

2) On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

1

4) Dérivons :

\frac{d}{d x} (e^{x})

ⓘ La dérivée de exp(x) est exp(x) :

\frac{d}{d x} (e^{x})

e^{x}

e^{x}

À partir des dérivées, on obtient une nouvelle fraction dont on peut calculer la limite :

ⓘ Un nombre divisé par une quantité qui devient infiniment grande tend vers 0

La limite de

\frac{1}{e^{x}}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

Donc la limite de

\frac{x}{e^{x}}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

▶Limite :

0