limite x->infini x^2/e^x — solution étape par étape

1) Evaluons la limite de

\frac{x^{2}}{e^{x}}

quand

x \to +∞

La limite de

x^{2}

est

+∞

quand

x \to +∞

La limite de

e^{x}

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour

\frac{x^{2}}{e^{x}}

, on obtient la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

2) On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

Dérivons :

{(x^{2})}^{'}

2 x

3) Effectuons la dérivation :

{(e^{x})}^{'}

e^{x}

À partir des dérivées, on obtient une nouvelle fraction dont on peut calculer la limite :

La limite de

2 x

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour

\frac{2 x}{e^{x}}

, on obtient la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

4) On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

Dérivons :

{(2 x)}^{'}

2

5) Effectuons la dérivation :

{(e^{x})}^{'}

e^{x}

Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

La limite de

\frac{2}{e^{x}}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

La limite de

\frac{2 x}{e^{x}}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

Donc la limite de

\frac{x^{2}}{e^{x}}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

▷Réponse : $0$