limite x->infini x^2/e^x — solution étape par étape

1) Calculons la limite de

\frac{x^{2}}{e^{x}}

lorsque

x \to +∞

ⓘ Une quantité infiniment grande élevée à une puissance positive reste infiniment grande, à une puissance négative elle tend vers 0

La limite de

x^{2}

est

+∞

quand

x \to +∞

ⓘ Un nombre plus grand que 1 élevé à une puissance infiniment grande devient infiniment grand, un nombre entre 0 et 1 tend vers 0

La limite de

e^{x}

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour

\frac{x^{2}}{e^{x}}

, on obtient la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

2) Appliquons la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en dérivant numérateur et dénominateur :

3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (e^{x})

ⓘ La dérivée de exp(x) est exp(x) :

\frac{d}{d x} (e^{x})

e^{x}

e^{x}

À partir des dérivées, on obtient une nouvelle fraction dont on peut calculer la limite :

ⓘ Une quantité infiniment grande multipliée par une quantité qui ne tend pas vers 0 reste infiniment grande, les signes donnant +∞ ou -∞

La limite de

2 x

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour :

\frac{2 x}{e^{x}}

, on tombe sur la limite indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

quand

x

tend vers

+∞

5) On utilise la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :

6) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (2 x)

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2

7) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (e^{x})

ⓘ La dérivée de exp(x) est exp(x) :

\frac{d}{d x} (e^{x})

e^{x}

e^{x}

Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

ⓘ Un nombre divisé par une quantité qui devient infiniment grande tend vers 0

La limite de

\frac{2}{e^{x}}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

La limite de

\frac{2 x}{e^{x}}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

Donc la limite de

\frac{x^{2}}{e^{x}}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

▶Limite :

0