limite x->infini x^2/e^x
1) Calculons la limite de <math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> lorsque <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> La limite de <math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> est <m><math><mi>+∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> La limite de <math><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> est <m><math><mi>+∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> Pour : <math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math>, on tombe sur la <u>limite indéterminée</u> : <math><mfrac><mrow><mi>+∞</mi></mrow><mrow><mi>+∞</mi></mrow></mfrac></math> quand <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mi>+∞</mi></math> 2) On utilise la règle de l’Hôpital (<m>limite de a/b = limite de a'/b'</m>) en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur : Dérivons : <math><mo>(</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)'</mo></math> <math><mn>2</mn><mi>x</mi></math> 3) Dérivons : <math><mo>(</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup><mo>)'</mo></math> <math><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite : La limite de <math><mn>2</mn><mi>x</mi></math> est <m><math><mi>+∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> La limite de <math><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> est <m><math><mi>+∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> Pour : <math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math>, on tombe sur la <u>limite indéterminée</u> : <math><mfrac><mrow><mi>+∞</mi></mrow><mrow><mi>+∞</mi></mrow></mfrac></math> quand <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mi>+∞</mi></math> 4) Appliquons la règle de l’Hôpital (<m>limite de a/b = limite de a'/b'</m>) en dérivant numérateur et dénominateur : Effectuons la dérivation : <math><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)'</mo></math> <math><mn>2</mn></math> 5) Dérivons : <math><mo>(</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup><mo>)'</mo></math> <math><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite : La limite de <math><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> est <m><math><mi>+∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> La limite de <math><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> est <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> La limite de <math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> est <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> Donc la limite de <math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> est <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> ▷<b>Résultat : <math><mn>0</mn></math></b><span style='font-size:smaller'> (le calcul a pris 23 étapes et 2 ms)</span>
