limite x->+inf sqrt(x)/x — solution étape par étape

1) Évaluons la limite de

\frac{\sqrt{x}}{x}

quand

x \to +∞

ⓘ C'est une limite de référence de la fonction sqrt

La limite de

\sqrt{x}

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour :

\frac{\sqrt{x}}{x}

, on tombe sur la limite indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

quand

x

tend vers

+∞

2) Appliquons la règle de l’Hôpital (limite de a/b = limite de a'/b') en dérivant numérateur et dénominateur :

3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

ⓘ La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

4) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

1

Avec les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

ⓘ Une quantité infiniment grande multipliée par une quantité qui ne tend pas vers 0 reste infiniment grande, les signes donnant +∞ ou -∞

La limite de

2 \sqrt{x}

est

+∞

quand

x \to +∞

ⓘ Un nombre divisé par une quantité qui devient infiniment grande tend vers 0

La limite de

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

Donc la limite de

\frac{\sqrt{x}}{x}

est

0

⁺ quand

x \to +∞

▶Limite :

0