Calculons la limite de <math><mfrac><mrow><msqrt><mi>x</mi></msqrt></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> lorsque <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
La limite de <math><msqrt><mi>x</mi></msqrt></math> est <m><math><mi>+∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
Pour : <math><mfrac><mrow><msqrt><mi>x</mi></msqrt></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>, on tombe sur la <u>limite indéterminée</u> : <math><mfrac><mrow><mi>+∞</mi></mrow><mrow><mi>+∞</mi></mrow></mfrac></math> quand <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mi>+∞</mi></math>
Pour <math><mfrac><mrow><msqrt><mi>x</mi></msqrt></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>, on obtient la <u>forme indéterminée</u> : <math><mfrac><mrow><mi>+∞</mi></mrow><mrow><mi>+∞</mi></mrow></mfrac></math> lorsque <math><mi>x</mi></math> tend vers <math><mi>+∞</mi></math>
On utilise la règle de l’Hôpital (<m>limite de a/b = limite de a'/b'</m>) en calculant les dérivées du numérateur et du dénominateur :
Dérivons : <math><mo>(</mo><msqrt><mi>x</mi></msqrt><mo>)'</mo></math>
 <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><msqrt><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfrac></math>
Effectuons la dérivation : <math><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)'</mo></math>
 <math><mn>1</mn></math>
À partir des dérivées, on obtient une nouvelle fraction dont on peut calculer la limite :
 La limite de <math><msqrt><mi>x</mi></msqrt></math> est <m><math><mi>+∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
 La limite de <math><mn>2</mn><msqrt><mi>x</mi></msqrt></math> est <m><math><mi>+∞</mi></math></m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
La limite de <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><msqrt><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfrac></math> est <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
Donc la limite de <math><mfrac><mrow><msqrt><mi>x</mi></msqrt></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> est <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> quand <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>

▷<b>Réponse : &nbsp; <math><mn>0</mn></math></b><span style='font-size:smaller'> &nbsp; &nbsp; (le calcul a pris 14 étapes et 2 ms)</span>