limite x->+infini (exp(x)-1)/(exp(x)-x)

1) Evaluons la limite de

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

quand

x \to +∞

La limite de

\exp (x)

est

+∞

quand

x \to +∞

La limite de

\exp (x) - 1

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour :

\exp (x) - x

, on tombe sur la limite indéterminée :

+∞ + -∞

quand

x

tend vers

+∞

Par croissances comparées,

\exp (x)

l'emporte sur

x

quand

x \to +∞

La limite de

\exp (x) - x

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour :

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

, on tombe sur la limite indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

quand

x

tend vers

+∞

2) Pour trouver la limite, on divise le numérateur et le dénominateur par

\exp (x)

Réduisons :

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x)}

1 - \frac{1}{\exp (x)}

3) Réduisons :

\frac{\exp (x) - x}{\exp (x)}

1 - \frac{x}{\exp (x)}

On obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

\frac{1 - \frac{1}{\exp (x)}}{1 - \frac{x}{\exp (x)}}

La limite de

- \frac{1}{\exp (x)}

est

0

⁻ quand

x \to +∞

La limite de

1 - \frac{1}{\exp (x)}

est

1

quand

x \to +∞

Pour

- \frac{x}{\exp (x)}

, on obtient la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

Par croissances comparées,

\exp (x)

l'emporte sur

x

quand

x \to +∞

La limite de

- \frac{x}{\exp (x)}

est

0

⁻ quand

x \to +∞

La limite de

1 - \frac{x}{\exp (x)}

est

1

quand

x \to +∞

La limite de

\frac{1 - \frac{1}{\exp (x)}}{1 - \frac{x}{\exp (x)}}

est

1

quand

x \to +∞

Donc la limite de

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

est

1

quand

x \to +∞

▷Résultat : $1$