limite x->+infini (exp(x)-1)/(exp(x)-x)

1) Calculons la limite de

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

lorsque

x \to +∞

ⓘ On utilise une limite de référence de la fonction exp

La limite de

\exp (x)

est

+∞

quand

x \to +∞

ⓘ Une quantité infiniment grande plus une quantité finie ou bornée reste infiniment grande

La limite de

\exp (x) - 1

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour

\exp (x) - x

, on obtient la forme indéterminée :

+∞ + -∞

lorsque

x

tend vers

+∞

Par croissances comparées,

\exp (x)

l'emporte sur

x

quand

x \to +∞

La limite de

\exp (x) - x

est

+∞

quand

x \to +∞

Pour

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

, on obtient la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

lorsque

x

tend vers

+∞

2) Pour trouver la limite, on divise le numérateur et le dénominateur par

\exp (x)

3) Simplifions :

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x)}

1 - \frac{1}{\exp (x)}

1 - \frac{1}{\exp (x)}

4) Simplifions :

\frac{\exp (x) - x}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{\exp (x) - x}{\exp (x)}

1 - \frac{x}{\exp (x)}

1 - \frac{x}{\exp (x)}

On obtient une nouvelle fraction dont on peut déterminer la limite :

\frac{1 - \frac{1}{\exp (x)}}{1 - \frac{x}{\exp (x)}}

ⓘ Un nombre divisé par une quantité qui devient infiniment grande tend vers 0

La limite de

- \frac{1}{\exp (x)}

est

0

⁻ quand

x \to +∞

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

1 - \frac{1}{\exp (x)}

est

1

quand

x \to +∞

Pour :

- \frac{x}{\exp (x)}

, on tombe sur la forme indéterminée :

\frac{+∞}{+∞}

quand

x

tend vers

+∞

Les croissances comparées montrent que

\exp (x)

domine

x

quand

x \to +∞

La limite de

- \frac{x}{\exp (x)}

est

0

⁻ quand

x \to +∞

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

La limite de

1 - \frac{x}{\exp (x)}

est

1

quand

x \to +∞

La limite de

\frac{1 - \frac{1}{\exp (x)}}{1 - \frac{x}{\exp (x)}}

est

1

quand

x \to +∞

Donc la limite de

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

est

1

quand

x \to +∞

▶Limite :

1