limite x->+infini x*ln(x)/exp(x)
1) Évaluons la limite de x·ln(x)exp(x) quand x → +∞
ⓘ On utilise une limite de référence de la fonction ln
La limite de ln(x) est +∞ quand x → +∞
ⓘ C'est une limite de référence de la fonction exp
La limite de exp(x) est +∞ quand x → +∞
Pour : ln(x)exp(x), on tombe sur la forme indéterminée : +∞+∞ quand x tend vers +∞
Par croissances comparées, exp(x) l'emporte sur ln(x) quand x → +∞ :
La limite de ln(x)exp(x) est 0⁺ quand x → +∞
Pour x·ln(x)exp(x), on obtient la forme indéterminée : +∞·0 lorsque x tend vers +∞
2) Pour lever la forme indéterminée 0 × ∞, on réécrit le produit x·ln(x)exp(x) sous forme de quotient xexp(x)ln(x)
Pour : exp(x)ln(x), on tombe sur la forme indéterminée : +∞+∞ quand x tend vers +∞
Les croissances comparées montrent que exp(x) domine ln(x) quand x → +∞ :
La limite de exp(x)ln(x) est +∞ quand x → +∞
Pour : xexp(x)ln(x), on tombe sur la forme indéterminée : +∞+∞ quand x tend vers +∞
Par croissances comparées, exp(x)ln(x) l'emporte sur x quand x → +∞ :
La limite de xexp(x)ln(x) est 0⁺ quand x → +∞
Donc la limite de x·ln(x)exp(x) est 0⁺ quand x → +∞
▶Limite :   0
Nouvelle discussion EN ES FR