ln((x-1)^2)<2 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\ln ({(x - 1)}^{2}) < 2

Sur le domaine du logarithme, ln est strictement croissante :

\ln ({(x - 1)}^{2}) < 2

équivaut à

{(x - 1)}^{2} < e^{2}

{(x - 1)}^{2} < e^{2}

Une puissance paire ne dépend que de la valeur absolue :

{(x - 1)}^{2} < e^{2}

équivaut à

| x - 1 | < e

| x - 1 | < e

| A | < B

équivaut à

- B < A < B

- e < x - 1 < e

On ajoute

1

aux trois membres de l'encadrement

- e + 1 < x < e + 1

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] 1 - e; e + 1 [

2) Évaluons le domaine de

\ln ({(x - 1)}^{2}) < 2

Pour que l'expression

\ln ({(x - 1)}^{2})

existe, on doit vérifier :

{(x - 1)}^{2} > 0

Dans ℝ, une puissance d'exposant pair est toujours ≥ 0 et vaut 0 uniquement si la base vaut 0

3) Résolvons dans

ℝ

x - 1 = 0

ⓘ On ajoute

1

aux deux membres

Solution trouvée :

x = 1

Contraintes liées au domaine :

x \neq 1

▶Solution :

x \in] 1 - e; 1 [\cup] 1; e + 1 [

4) La valeur numérique de :

x \in] 1 - e; 1 [\cup] 1; e + 1 [

est :

x \in] 1 - \approx 2,7183; 1 [\cup] 1; \approx 2,7183 + 1 [

▷

x \in] \approx -1,7183; 1 [\cup] 1; \approx 3,7183 [