ln(x)+ln(x+1)=ln(2) — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (2)

ⓘ Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient, ln(a) + ln(b) = ln(a*b) :

\ln (x) + \ln (x + 1)

\ln (x \cdot (x + 1))

\ln (x \cdot (x + 1)) = \ln (2)

Sur le domaine du logarithme, ln est strictement croissante :

\ln (x \cdot (x + 1)) = \ln (2)

équivaut à

x \cdot (x + 1) = 2

ⓘ On soustrait

2

aux deux membres

x \cdot (x + 1) - 2 = 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

x \cdot (x + 1)

x^{2} + x

x^{2} + x - 2 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 1

c = -2

Δ = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ On part de

1

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

1 + 8

9

Δ = 9

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 - 3

-4

x_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{2}

-2

x_{1} = -2

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 + 3

2

x_{2} = \frac{2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

x_{2} = 1

Candidats, sous réserve du domaine :

x = {-2; 1}

2) Cherchons le domaine de

\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (2)

Pour que l'expression

\ln (x)

soit définie, on doit avoir :

x > 0

Pour que l'expression

\ln (x + 1)

soit définie, on doit avoir :

x + 1 > 0

Solution trouvée :

x > 0

3) Résolvons dans

ℝ

x + 1 > 0

ⓘ On soustrait

1

aux deux membres

Solution obtenue :

x > -1

L'intersection de

x > 0

x > -1

donne

x > 0

Contraintes liées au domaine :

x > 0

La solution

x = -2

ne respecte pas le domaine

x > 0

: elle est écartée

▶Solution :

x = 1