ln(x)+ln(x+1)=ln(2*x) — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (2 x)

ⓘ Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient, ln(a) + ln(b) = ln(a*b) :

\ln (x) + \ln (x + 1)

\ln (x \cdot (x + 1))

\ln (x \cdot (x + 1)) = \ln (2 x)

La fonction ln étant strictement croissante,

\ln (a) = \ln (b)

équivaut à

a = b

x \cdot (x + 1) = 2 x

On peut écrire l'expression :

x \cdot (x + 1) - 2 x

sous la forme factorisée :

x \cdot ((x + 1) - 2)

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = 0

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

(x + 1) - 2 = 0

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

2

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

1 - 2

-1

⇥

x - 1

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = 1

2) Cherchons le domaine de

\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (2 x)

Pour que l'expression

\ln (x)

existe, on doit vérifier :

x > 0

Pour que l'expression

\ln (x + 1)

soit définie, on doit avoir :

x + 1 > 0

Pour que l'expression

\ln (2 x)

soit définie, on doit avoir :

2 x > 0

Solution obtenue :

x > 0

3) Résolvons dans

ℝ

x + 1 > 0

ⓘ On soustrait

1

aux deux membres

Solution obtenue :

x > -1

4) Résolvons dans

ℝ

2 x > 0

On simplifie l'expression par

2

⇥Résolvons dans

ℝ

x > 0

⇥Solution obtenue :

x > 0

Créons le tableau des différentes solutions pour trouver la solution globale :

x	$-∞$		$-1$		$0$		$+∞$
$x > 0$		❌	❌	❌	❌	✅
$x + 1 > 0$		❌	❌	✅	✅	✅
$2 x > 0$		❌	❌	❌	❌	✅
Domaine de définition :		❌	❌	❌	❌	✅

Contraintes liées au domaine :

x > 0

La solution

x = 0

ne respecte pas le domaine

x > 0

: elle est écartée

▶Solution :

x = 1