log(1/2,x)>1 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\log (\frac{1}{2}; x) > 1

ⓘ log(b, v) est le logarithme de v en base b, soit ln(v)/ln(b) :

\log (\frac{1}{2}; x)

\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{1}{2})}

\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{1}{2})} > 1

2) Étudions le signe de :

\ln (\frac{1}{2})

\ln (0,5)

\approx -0,6931

On multiplie les deux membres par

\ln (\frac{1}{2})

; ce nombre étant négatif, on inverse le sens de l'inégalité

\ln (x) < \ln (\frac{1}{2})

ⓘ On soustrait

\ln (\frac{1}{2})

aux deux membres

\ln (x) - \ln (\frac{1}{2}) < 0

ⓘ Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient, ln(a) + ln(b) = ln(a*b) :

\ln (x) - \ln (\frac{1}{2})

\ln (\frac{x}{\frac{1}{2}})

\ln (\frac{x}{\frac{1}{2}}) < 0

ⓘ Diviser revient à multiplier par l'inverse :

\frac{x}{\frac{1}{2}}

x \cdot 2

\ln (x \cdot 2) < 0

Appliquons la fonction exp des deux côtés :

e^{\ln (x \cdot 2)} < e^{0}

ⓘ Pour

x

réel,

\ln (\exp (x)) = x

; lorsque

\ln (x)

est défini,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (x \cdot 2)}

x \cdot 2

■Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

e^{0}

1

x \cdot 2 < 1

ⓘ On divise les deux membres par

2

Candidats, sous réserve du domaine :

x < \frac{1}{2}

Pour que l'expression

\ln (x)

existe, on doit vérifier :

x > 0

Contraintes liées au domaine :

x > 0

▶Solution :

x \in] 0; \frac{1}{2} [

3) La valeur numérique de :

x \in] 0; \frac{1}{2} [

est :

▷

x \in] 0; 0,5 [