log(10,x)<2 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\log (10; x) < 2

ⓘ log(b, v) est le logarithme de v en base b, soit ln(v)/ln(b) :

\log (10; x)

\frac{\ln (x)}{\ln (10)}

\frac{\ln (x)}{\ln (10)} < 2

2) Regardons le signe de :

\ln (10)

\approx 2,3026

\ln (x) < 2 \cdot \ln (10)

ⓘ On soustrait

2 \cdot \ln (10)

aux deux membres

\ln (x) - 2 \cdot \ln (10) < 0

ⓘ Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient, ln(a) + ln(b) = ln(a*b) :

\ln (x) - 2 \cdot \ln (10)

\ln (\frac{x}{10^{2}})

\ln (\frac{x}{10^{2}}) < 0

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

10^{2}

10 \cdot 10

100

\ln (\frac{x}{100}) < 0

Appliquons la fonction exp des deux côtés :

e^{\ln (\frac{x}{100})} < e^{0}

ⓘ Pour

x

réel,

\ln (\exp (x)) = x

; lorsque

\ln (x)

est défini,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (\frac{x}{100})}

\frac{x}{100}

■Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

e^{0}

1

\frac{x}{100} < 1

Candidats, sous réserve du domaine :

x < 100

Pour que l'expression

\ln (x)

existe, on doit vérifier :

x > 0

Contraintes liées au domaine :

x > 0

▶Solution :

x \in] 0; 100 [