log(2,x)>1 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\log (2; x) > 1

ⓘ log(b, v) est le logarithme de v en base b, soit ln(v)/ln(b) :

\log (2; x)

\frac{\ln (x)}{\ln (2)}

\frac{\ln (x)}{\ln (2)} > 1

2) Regardons le signe de :

\ln (2)

\approx 0,6931

\ln (x) > \ln (2)

ⓘ On soustrait

\ln (2)

aux deux membres

\ln (x) - \ln (2) > 0

ⓘ Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient, ln(a) + ln(b) = ln(a*b) :

\ln (x) - \ln (2)

\ln (\frac{x}{2})

\ln (\frac{x}{2}) > 0

Appliquons la fonction exp des deux côtés :

e^{\ln (\frac{x}{2})} > e^{0}

ⓘ Pour

x

réel,

\ln (\exp (x)) = x

; lorsque

\ln (x)

est défini,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (\frac{x}{2})}

\frac{x}{2}

■Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

e^{0}

1

\frac{x}{2} > 1

Candidats, sous réserve du domaine :

x > 2

Pour que l'expression

\ln (x)

soit définie, on doit avoir :

x > 0

Contraintes liées au domaine :

x > 0

▶Solution :

x > 2