log(2,x)=3 — solution étape par étape

Résolvons dans

ℝ

\log (2; x) = 3

ⓘ log(b, v) est le logarithme de v en base b, soit ln(v)/ln(b) :

\log (2; x)

\frac{\ln (x)}{\ln (2)}

\frac{\ln (x)}{\ln (2)} = 3

\ln (x) = 3 \cdot \ln (2)

ⓘ On soustrait

3 \cdot \ln (2)

aux deux membres

\ln (x) - 3 \cdot \ln (2) = 0

ⓘ Pour des arguments strictement positifs, une somme de logarithmes est le logarithme du produit, une différence celui du quotient, ln(a) + ln(b) = ln(a*b) :

\ln (x) - 3 \cdot \ln (2)

\ln (\frac{x}{2^{3}})

\ln (\frac{x}{2^{3}}) = 0

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

\ln (\frac{x}{8}) = 0

On peut appliquer la fonction exp des deux côtés :

e^{\ln (\frac{x}{8})} = e^{0}

ⓘ Pour

x

réel,

\ln (\exp (x)) = x

; lorsque

\ln (x)

est défini,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (\frac{x}{8})}

\frac{x}{8}

■Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

e^{0}

1

\frac{x}{8} = 1

Candidats, sous réserve du domaine :

x = 8

Pour que l'expression

\ln (x)

soit définie, on doit avoir :

x > 0

Contraintes liées au domaine :

x > 0

▶Solution :

x = 8