-16t^2+6t+5=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

- 16 t^{2} + 6 t + 5 = 0

Comme

-1 \neq 0

, on divise les deux membres par

-1

16 t^{2} - 6 t - 5 = 0

Étant donné la forme quadratique

a t^{2} + b t + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 16

b = -6

c = -5

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (-5)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 16

4 \cdot (10 + 6)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 6

40 + 24

64

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 64 \cdot (-5)

64 \cdot 5

Δ = 36 + 64 \cdot 5

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

64 \cdot 5

(60 + 4) \cdot 5

60 \cdot 5 + 4 \cdot 5

300 + 20

320

Δ = 36 + 320

ⓘ On part de

36

et on avance de

320

sur la droite des nombres :

36 + 320

356

Δ = 356

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

t_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{356}}{2 \cdot 16}

t_{1} = \frac{6 - \sqrt{356}}{2 \cdot 16}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

356

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{356}

\sqrt{4 \cdot 89}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{89}

2 \cdot \sqrt{89}

ⅰ

2 \cdot 16

2 \cdot (10 + 6)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 6

20 + 12

32

t_{1} = \frac{6 - 2 \cdot \sqrt{89}}{32}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{6 - 2 \cdot \sqrt{89}}{32}

\frac{3 - \sqrt{89}}{16}

t_{1} = \frac{3 - \sqrt{89}}{16}

La formule du second degré donne

t_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{356}}{2 \cdot 16}

t_{2} = \frac{6 + \sqrt{356}}{2 \cdot 16}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

356

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{356}

\sqrt{4 \cdot 89}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{89}

2 \cdot \sqrt{89}

ⅰ

2 \cdot 16

2 \cdot (10 + 6)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 6

20 + 12

32

t_{2} = \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{89}}{32}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{6 + 2 \cdot \sqrt{89}}{32}

\frac{3 + \sqrt{89}}{16}

t_{2} = \frac{3 + \sqrt{89}}{16}

▶Solutions obtenues :

t = {\frac{3 - \sqrt{89}}{16}; \frac{3 + \sqrt{89}}{16}}

2) La valeur numérique de :

t = {\frac{3 - \sqrt{89}}{16}; \frac{3 + \sqrt{89}}{16}}

vaut :

t = {\approx \frac{3 - 9,4340}{16}; \approx \frac{3 + 9,4340}{16}}

t = {\approx - \frac{6,4340}{16}; \approx \frac{12,4340}{16}}

▷

t = {\approx -0,4021; \approx 0,7771}