-2/x >-(5x)/(x^2+6) — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

- \frac{2}{x} > - \frac{5 x}{x^{2} + 6}

2) Ajoutons les fractions :

- \frac{2}{x} + \frac{5 x}{x^{2} + 6} > 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{2}{x} + \frac{5 x}{x^{2} + 6}

\frac{- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x \cdot x}{x \cdot (x^{2} + 6)}

\frac{- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x \cdot x}{x \cdot (x^{2} + 6)} > 0

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

\frac{- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x^{2}}{x \cdot (x^{2} + 6)} > 0

On étudie le signe du numérateur

⇥2.1) Étudions le signe de

- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x^{2}

en résolvant dans

ℝ

- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x^{2} > 0

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- 2 \cdot (x^{2} + 6)

- (2 x^{2} + 12)

⇥

- (2 x^{2} + 12) + 5 x^{2} > 0

⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 x^{2} + 12)

- 2 x^{2} - 12

⇥

- 2 x^{2} - 12 + 5 x^{2} > 0

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 2 x^{2} + 5 x^{2}

3 x^{2}

⇥

3 x^{2} - 12 > 0

⇥Comme

3 > 0

, on divise les deux membres par

3

sans changer le sens de l'inégalité :

x^{2} - 4 > 0

⇥Une puissance paire ne dépend que de la valeur absolue :

x^{2} > 4

équivaut à

| x | > 2

⇥

| A | > B

veut dire que :

A > B

A < - B

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥2.2) Résolvons dans

ℝ

x \cdot (x^{2} + 6) > 0

⇥On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥⇥L'expression

x

s'annule en

x = 0

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

⇥Étudions le signe de

x^{2} + 6

en résolvant dans

ℝ

x^{2} + 6 > 0

⇥Dans ℝ, une puissance paire n'est jamais négative :

x^{2} > -6

est vraie pour tout

x

⇥La relation simplifiée est toujours vraie ; il reste à respecter le domaine de l'expression initiale

⇥⇥Donc l'expression

x^{2} + 6

est toujours positive

3) Dressons le tableau de signes :

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -2; 0 [\cup] 2; +∞ [

4) Cherchons le domaine de

- \frac{2}{x} > - \frac{5 x}{x^{2} + 6}

Pour que l'expression

- \frac{2}{x}

existe, on doit vérifier :

x \neq 0

Pour que l'expression

- \frac{5 x}{x^{2} + 6}

existe, on doit vérifier :

x^{2} + 6 \neq 0

La condition

x^{2} + 6 \neq 0

est toujours vraie sur son domaine réel

Contraintes liées au domaine :

x \neq 0

▶Solution :

x \in] -2; 0 [\cup] 2; +∞ [