-2x^3+2x^2+4x>0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x > 0

On peut mettre l'expression :

- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x

en facteurs :

x \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 4)

On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥L'expression

x

s'annule en

x = 0

, elle est négative avant et positive après

Étudions le signe de

- 2 x^{2} + 2 x + 4

en élargissant le signe à ≥ et en résolvant dans

ℝ

- 2 x^{2} + 2 x + 4 \geq 0

Comme

-2 < 0

, on divise les deux membres par

-2

en renversant le sens de l'inégalité :

x^{2} - x - 2 \leq 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -2

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ On part de

1

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

1 + 8

9

Δ = 9

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 3

-2

x_{1} = - \frac{2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

x_{1} = -1

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 3

4

x_{2} = \frac{4}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

x_{2} = 2

Le trinôme est du signe opposé à a =

1

entre ses racines, donc il est bien négatif entre ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

Solution obtenue :

x \in [-1; 2]

⇥Donc l'expression

- 2 x^{2} + 2 x + 4

est positive ou nulle sur

[-1; 2]

et négative sinon

2) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-1$		$0$		$2$		$+∞$
$x$		-		-	0	+		+
$- 2 x^{2} + 2 x + 4$		-	0	+		+	0	-
$- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x$		+	0	-	0	+	0	-

▶Solution obtenue :

x \in] -∞; -1 [\cup] 0; 2 [