-3*(x+1)^2-12<0 — solution étape par étape

Résolvons dans

ℝ

- 3 \cdot {(x + 1)}^{2} - 12 < 0

ⓘ Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même :

{(x + 1)}^{2}

(x + 1) \cdot (x + 1)

- 3 \cdot (x + 1) \cdot (x + 1) - 12 < 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

3 \cdot (x + 1)

3 x + 3

- (3 x + 3) \cdot (x + 1) - 12 < 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (3 x + 3) \cdot (x + 1)

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 1

+ 3 x

+ 3 \cdot 1)

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 1

+ 3 x

+ 3 \cdot 1) - 12 < 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 1

+ 3 x

+ 3 \cdot 1)

- 3 \cdot x \cdot x

- 3 x \cdot 1

- 3 x

- 3 \cdot 1

- 3 \cdot x \cdot x

- 3 x \cdot 1

- 3 x

- 3 \cdot 1

- 12 < 0

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

- 3 x^{2}

- 3 x

- 3 x

- 3

- 12 < 0

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 3 x - 3 x

-6 x

■On part de

-3

et on recule encore de

12

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 3 - 12

-15

- 3 x^{2} - 6 x - 15 < 0

Comme

-3 < 0

, on divise les deux membres par

-3

en renversant le sens de l'inégalité :

x^{2} + 2 x + 5 > 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 2

c = 5

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

Δ = 4 - 4 \cdot 5

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 5

20

Δ = 4 - 20

ⓘ On part de

4

et on recule de

20

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

4 - 20

-16

Δ = -16

Le trinôme n'a pas de racine réelle : il est partout du signe de a =

1

, donc il est bien positif pour tout

x

▶Solution trouvée :

x \in ℝ