-4g^2-68g=172 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

- 4 g^{2} - 68 g = 172

Comme

-4 \neq 0

, on divise les deux membres par

-4

g^{2} + 17 g = -43

g^{2} + 17 g + 43 = 0

Vu la forme quadratique

a g^{2} + b g + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 17

c = 43

Δ = 17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 43

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

17^{2}

17 \cdot 17

289

Δ = 289 - 4 \cdot 43

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 43

4 \cdot (40 + 3)

4 \cdot 40 + 4 \cdot 3

160 + 12

172

Δ = 289 - 172

ⓘ On part de

289

et on recule de

172

sur la droite des nombres :

289 - 172

117

Δ = 117

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

g_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 - \sqrt{117}}{2 \cdot 1}

g_{1} = \frac{- 17 - \sqrt{117}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

117

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{117}

\sqrt{9 \cdot 13}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{13}

3 \cdot \sqrt{13}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 17 - 3 \cdot \sqrt{13}

- (17 + 3 \cdot \sqrt{13})

g_{1} = - \frac{17 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}

La formule du second degré donne

g_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 + \sqrt{117}}{2 \cdot 1}

g_{2} = \frac{- 17 + \sqrt{117}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

117

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{117}

\sqrt{9 \cdot 13}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{13}

3 \cdot \sqrt{13}

g_{2} = \frac{- 17 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}

▶Solutions trouvées :

g = {- \frac{17 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}; \frac{3 \cdot \sqrt{13} - 17}{2}}

2) La valeur numérique de :

g = {- \frac{17 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}; \frac{3 \cdot \sqrt{13} - 17}{2}}

vaut :

g = {\approx - \frac{17 + 3 \cdot 3,6056}{2}; \approx \frac{3 \cdot 3,6056 - 17}{2}}

g = {\approx - \frac{17 + 10,8167}{2}; \approx \frac{10,8167 - 17}{2}}

g = {\approx - \frac{27,8167}{2}; \approx - \frac{6,1833}{2}}

▷

g = {\approx -13,9083; \approx -3,0917}