-x^2-6x+6=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

- x^{2} - 6 x + 6 = 0

Comme

-1 \neq 0

, on divise les deux membres par

-1

x^{2} + 6 x - 6 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 6

c = -6

Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

6^{2}

6 \cdot 6

36

Δ = 36 - 4 \cdot (-6)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-6)

24

Δ = 36 + 24

ⓘ On part de

36

et on avance de

24

sur la droite des nombres :

36 + 24

60

Δ = 60

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 - \sqrt{60}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 6 - \sqrt{60}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

60

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{60}

\sqrt{4 \cdot 15}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{15}

2 \cdot \sqrt{15}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 6 - 2 \cdot \sqrt{15}

- (6 + 2 \cdot \sqrt{15})

x_{1} = - \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

- \frac{2 \cdot (3 + \sqrt{15})}{2}

- (3 + \sqrt{15})

x_{1} = - (3 + \sqrt{15})

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (3 + \sqrt{15})

- 3 - \sqrt{15}

x_{1} = - 3 - \sqrt{15}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 + \sqrt{60}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 6 + \sqrt{60}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

60

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{60}

\sqrt{4 \cdot 15}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{15}

2 \cdot \sqrt{15}

x_{2} = \frac{- 6 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{- 6 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

\frac{2 \cdot (- 3 + \sqrt{15})}{2}

- 3 + \sqrt{15}

x_{2} = - 3 + \sqrt{15}

▶Solutions obtenues :

x = {- \sqrt{15} - 3; \sqrt{15} - 3}

2) La valeur numérique de :

x = {- \sqrt{15} - 3; \sqrt{15} - 3}

vaut :

x = {\approx - 3,8730 - 3; \approx 3,8730 - 3}

▷

x = {\approx -6,8730; \approx 0,8730}