-x^2+6x+3=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

- x^{2} + 6 x + 3 = 0

Comme

-1 \neq 0

, on divise les deux membres par

-1

x^{2} - 6 x - 3 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -6

c = -3

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

Δ = 36 - 4 \cdot (-3)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-3)

12

Δ = 36 + 12

ⓘ On part de

36

et on avance de

12

sur la droite des nombres :

36 + 12

48

Δ = 48

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{48}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{48}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

48

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{48}

\sqrt{16 \cdot 3}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}

4 \cdot \sqrt{3}

x_{1} = \frac{6 - 4 \cdot \sqrt{3}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{6 - 4 \cdot \sqrt{3}}{2}

\frac{2 \cdot (3 - 2 \cdot \sqrt{3})}{2}

3 - 2 \cdot \sqrt{3}

x_{1} = 3 - 2 \cdot \sqrt{3}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{48}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{48}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

48

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{48}

\sqrt{16 \cdot 3}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}

4 \cdot \sqrt{3}

x_{2} = \frac{6 + 4 \cdot \sqrt{3}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{6 + 4 \cdot \sqrt{3}}{2}

\frac{2 \cdot (3 + 2 \cdot \sqrt{3})}{2}

3 + 2 \cdot \sqrt{3}

x_{2} = 3 + 2 \cdot \sqrt{3}

▶Solutions obtenues :

x = {3 - 2 \cdot \sqrt{3}; 3 + 2 \cdot \sqrt{3}}

2) La valeur numérique de :

x = {3 - 2 \cdot \sqrt{3}; 3 + 2 \cdot \sqrt{3}}

est :

x = {\approx 3 - 2 \cdot 1,7321; \approx 3 + 2 \cdot 1,7321}

x = {\approx 3 - 3,4641; \approx 3 + 3,4641}

▷

x = {\approx -0,4641; \approx 6,4641}