(\partial)/(\partial x)(4x^{-x^2-y^2-z^2})

⚠ (\partial)/(\partial x)(4x^{-x^2-y^2-z^2}) est lu comme dif(4x^(-x^2-y^2-z^2),x) : utilisez dif(expression, variable) pour une dérivée par rapport à cette variable, utilisez (numérateur)/(dénominateur) pour un quotient, utilisez ^(...) pour grouper un exposant, utilisez * pour multiplier

1) On dérive par rapport à x ; les autres variables (y, z) sont considérées constantes

Dérivons :

\frac{\partial}{\partial x} (4 x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}})

Pour dériver sur les intervalles où

x > 0

, on écrit

x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}

e^{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)}

ⅰ

\frac{\partial}{\partial x} (x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}})

\frac{\partial}{\partial x} ((- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)) \cdot e^{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)}

4 \cdot \frac{\partial}{\partial x} ((- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)) \cdot e^{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)}

Pour

u1

(- x^{2} - y^{2} - z^{2})

v2

\ln (x)

, on applique la formule de dérivation :

\frac{\partial}{\partial x} (u1 \cdot v2) = \frac{\partial}{\partial x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{\partial}{\partial x} (v2)

2) Effectuons la dérivation

u1

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2} - y^{2} - z^{2})

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2} - y^{2} - z^{2})

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- z^{2})

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- z^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2})

- 2 x

■La dérivée d'une constante est nulle :

\frac{\partial}{\partial x} (- y^{2})

0

\frac{\partial}{\partial x} (- z^{2})

0

- 2 x + 0 + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

- 2 x + 0 + 0

- 2 x

- 2 x

3) Dérivons

v2

\frac{\partial}{\partial x} (\ln (x))

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{\partial}{\partial x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

4) On évalue la dérivée résultante (

u1 \cdot v2

)' :

- 2 x \cdot \ln (x) + (- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \frac{1}{x}

\frac{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot 1}{x}

\frac{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}{x}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- x^{2} - y^{2} - z^{2}

- (x^{2} + y^{2} + z^{2})

- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{\partial}{\partial x} ((- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x))

- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}) \cdot x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}) \cdot x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}

\frac{4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

\frac{4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

- (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})

\frac{4 \cdot (- (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}))}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

4 \cdot (- (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}))

- 4 \cdot (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})

- \frac{4 \cdot (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

\frac{2 x \cdot \ln (x) \cdot x + (x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}

- \frac{4 \cdot (\frac{2 x \cdot \ln (x) \cdot x + (x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

4 \cdot \frac{2 \cdot x \cdot \ln (x) \cdot x + x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

\frac{4 \cdot (2 \cdot x \cdot \ln (x) \cdot x + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

- \frac{\frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Diviser une fraction par

x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

revient à multiplier son dénominateur par

x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

- \frac{\frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

- \frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

x^{x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1}

▶Dérivée :

- \frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1}}