(2x)/3-((x-1))/4 <((x-1))/8 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{2 x}{3} - \frac{x - 1}{4} < \frac{x - 1}{8}

ⓘ Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- \frac{x - 1}{4}

\frac{- x + 1}{4}

\frac{2 x}{3} + \frac{- x + 1}{4} < \frac{x - 1}{8}

2) Ajoutons les fractions :

\frac{2 x}{3} + \frac{- x + 1}{4} - \frac{x - 1}{8} < 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{2 x}{3} + \frac{- x + 1}{4}

\frac{2 x \cdot 4 + (- x + 1) \cdot 3}{3 \cdot 4}

■Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- \frac{x - 1}{8}

\frac{- x + 1}{8}

\frac{2 x \cdot 4 + (- x + 1) \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{- x + 1}{8} < 0

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 4

8

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{8 x + (- x + 1) \cdot 3}{12} + \frac{- x + 1}{8}

\frac{(8 x + (- x + 1) \cdot 3) \cdot 2 + (- x + 1) \cdot 3}{12 \cdot 2}

ⅰ

3 \cdot 4

12

\frac{(8 x + (- x + 1) \cdot 3) \cdot 2 + (- x + 1) \cdot 3}{12 \cdot 2} < 0

ⅰ

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

\frac{(8 x + (- x + 1) \cdot 3) \cdot 2 + (- x + 1) \cdot 3}{24} < 0

Étudions le signe de

(8 x + (- x + 1) \cdot 3) \cdot 2 + (- x + 1) \cdot 3

en résolvant dans

ℝ

(8 x + (- x + 1) \cdot 3) \cdot 2 + (- x + 1) \cdot 3 < 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(- x + 1) \cdot 3

- x \cdot 3 + 3

(8 x + (- x \cdot 3 + 3)) \cdot 2

16 x + (- x \cdot 3 + 3) \cdot 2

16 x

+ (- x \cdot 3 + 3) \cdot 2

- x \cdot 3

+ 3 < 0

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

16 x + (- x \cdot 3 + 3) \cdot 2 - x \cdot 3

13 x + 2 \cdot (- x \cdot 3 + 3)

13 x + 2 \cdot (- x \cdot 3 + 3) + 3 < 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot (- x \cdot 3 + 3)

6 \cdot (- x) + 6

13 x

+ 6 \cdot (- x)

+ 6

+ 3 < 0

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

6 \cdot (- x)

- 6 x

■On part de

6

et on avance de

3

sur la droite des nombres :

6 + 3

9

13 x - 6 x + 9 < 0

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

13 x - 6 x

7 x

7 x + 9 < 0

7 x < -9

ⓘ On divise les deux membres par

7

Solution trouvée :

x < - \frac{9}{7}

⇥Donc l'expression

(8 x + (- x + 1) \cdot 3) \cdot 2 + (- x + 1) \cdot 3

est négative sur

] -∞; - \frac{9}{7} [

et positive ou nulle sinon

▶Solution trouvée :

x < - \frac{9}{7}

3) La valeur numérique de :

x < - \frac{9}{7}

est :

▷

x < -1,2857 (valeur approchée)