(2x+3)/(x-2)<= 5x-2 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{2 x + 3}{x - 2} \leq 5 x - 2

2) Ajoutons les fractions :

\frac{2 x + 3}{x - 2} - 5 x + 2 \leq 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{2 x + 3}{x - 2} - 5 x

\frac{(2 x + 3) - 5 x \cdot (x - 2)}{x - 2}

\frac{(2 x + 3) - 5 x \cdot (x - 2)}{x - 2} + 2 \leq 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2)}{x - 2} + 2

\frac{(2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2)) + 2 \cdot (x - 2)}{x - 2}

\frac{(2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2)) + 2 \cdot (x - 2)}{x - 2} \leq 0

\frac{2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2) + 2 \cdot (x - 2)}{x - 2} \leq 0

On étudie le signe du numérateur

Étudions le signe de

2 x

+ 3

- 5 x \cdot (x - 2)

+ 2 \cdot (x - 2)

en résolvant dans

ℝ

2 x

+ 3

- 5 x \cdot (x - 2)

+ 2 \cdot (x - 2) \leq 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- 5 x \cdot (x - 2)

- (5 x^{2} - 10 x)

2 \cdot (x - 2)

2 x - 4

2 x

+ 3

- (5 x^{2} - 10 x)

+ 2 x

- 4 \leq 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (5 x^{2} - 10 x)

- 5 x^{2} + 10 x

■On part de

3

et on recule de

4

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

3 - 4

-1

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x + 2 x

4 x

4 x

- 1

- 5 x^{2}

+ 10 x \leq 0

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

4 x + 10 x

14 x

14 x - 1 - 5 x^{2} \leq 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = -5

b = 14

c = -1

Δ = 14^{2} - 4 \cdot (-5) \cdot (-1)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

14^{2}

14 \cdot 14

196

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-5)

20

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

20 \cdot (-1)

-20

Δ = 196 - 20

ⓘ On part de

196

et on recule de

20

sur la droite des nombres :

196 - 20

176

Δ = 176

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 14 - \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

x_{1} = \frac{- 14 - \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

176

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{176}

\sqrt{16 \cdot 11}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{11}

4 \cdot \sqrt{11}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 14 - 4 \cdot \sqrt{11}

- (14 + 4 \cdot \sqrt{11})

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-5)

-10

x_{1} = \frac{- (14 + 4 \cdot \sqrt{11})}{-10}

ⓘ Les signes moins du numérateur et du dénominateur s'annulent :

\frac{- (14 + 4 \cdot \sqrt{11})}{-10}

\frac{14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

x_{1} = \frac{14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

x_{1} = \frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 14 + \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

x_{2} = \frac{- 14 + \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

176

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{176}

\sqrt{16 \cdot 11}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{11}

4 \cdot \sqrt{11}

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-5)

-10

x_{2} = \frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{-10}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{-10}

- (\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10})

x_{2} = - (\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10})

ⓘ Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- (\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10})

\frac{14 - 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

x_{2} = \frac{14 - 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{14 - 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

x_{2} = \frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

Le trinôme est du signe de a =

-5

à l'extérieur de ses racines, donc il est bien négatif à l'extérieur de ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; \frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}] \cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

⇥Donc l'expression

2 x

+ 3

- 5 x \cdot (x - 2)

+ 2 \cdot (x - 2)

est négative ou nulle sur

] -∞; \frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}] \cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

et positive sinon

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥L'expression

x - 2

s'annule en

x = 2

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

3) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}$		$2$		$\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}$		$+∞$
$2 x$ $+ 3$ $- 5 x \cdot (x - 2)$ $+ 2 \cdot (x - 2)$		-	0	+		+	0	-
$x - 2$		-		-	0	+		+
$\frac{2 x + 3}{x - 2} - (5 x - 2)$		+	0	-	❌	+	0	-

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

4) Évaluons le domaine de

\frac{2 x + 3}{x - 2} \leq 5 x - 2

Pour que l'expression

\frac{2 x + 3}{x - 2}

existe, on doit vérifier :

x - 2 \neq 0

ⓘ On ajoute

2

aux deux membres

Contraintes liées au domaine :

x \neq 2

▶Solution :

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

5) La valeur numérique de :

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

est :

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \approx 3,3166}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \approx 3,3166}{5}; +∞ [

x \in [\frac{7 - \approx 6,6332}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + \approx 6,6332}{5}; +∞ [

x \in [\frac{\approx 0,3668}{5}; 2 [\cup [\frac{\approx 13,6332}{5}; +∞ [

▷

x \in [\approx 7,335 \times 10^{- 2}; 2 [\cup [\approx 2,7266; +∞ [