(4x)/(x-1)<= x/(x+6)+4 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{4 x}{x - 1} \leq \frac{x}{x + 6} + 4

2) Additionnons les fractions :

\frac{4 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 6} - 4 \leq 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{4 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 6}

\frac{4 x \cdot (x + 6) - x \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

\frac{4 x \cdot (x + 6) - x \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot (x + 6)} - 4 \leq 0

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{4 x \cdot (x + 6) - x \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1))}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1))}{(x - 1) \cdot (x + 6)} - 4

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1)) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1)) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)}{(x - 1) \cdot (x + 6)} \leq 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (x - 1)

- x + 1

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)}{(x - 1) \cdot (x + 6)} \leq 0

On étudie le signe du numérateur

⇥2.1) Étudions le signe de

x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)

en résolvant dans

ℝ

x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

4 \cdot (x + 6)

4 x + 24

x \cdot ((4 x + 24) - x + 1)

x \cdot (4 x + 24) + x \cdot (- x) + x

4 \cdot (x - 1)

4 x - 4

⇥

x \cdot (4 x + 24)

+ x \cdot (- x)

+ x

- (4 x - 4) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ On place le signe moins devant le produit :

x \cdot (- x)

- x \cdot x

⇥

x \cdot (4 x + 24)

- x \cdot x

+ x

- (4 x - 4) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

⇥

x \cdot (4 x + 24)

- x^{2}

+ x

- (4 x - 4) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

x \cdot (4 x + 24)

4 x^{2} + x \cdot 24

- (4 x - 4) \cdot (x + 6)

- (4 \cdot x \cdot x

+ 4 x \cdot 6

- 4 x

- 4 \cdot 6)

⇥

4 x^{2}

+ x \cdot 24

- x^{2}

+ x

- (4 \cdot x \cdot x

+ 4 x \cdot 6

- 4 x

- 4 \cdot 6) \leq 0

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

4 x^{2} + x \cdot 24 - x^{2}

3 x^{2} + 24 x

24 x + x

25 x

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (4 \cdot x \cdot x

+ 4 x \cdot 6

- 4 x

- 4 \cdot 6)

- 4 \cdot x \cdot x

- 4 x \cdot 6

+ 4 x

+ 4 \cdot 6

⇥

3 x^{2}

+ 25 x

- 4 \cdot x \cdot x

- 4 x \cdot 6

+ 4 x

+ 4 \cdot 6 \leq 0

⇥ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 6

24

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

25 x + 4 x

29 x

⇥

3 x^{2}

+ 29 x

- 4 x^{2}

- 24 x

+ 24 \leq 0

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

3 x^{2} - 4 x^{2}

- x^{2}

29 x - 24 x

5 x

⇥

- x^{2} + 5 x + 24 \leq 0

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = -1

b = 5

c = 24

⇥

Δ = 5^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot 24

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

5^{2}

5 \cdot 5

25

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 25 + 4 \cdot 24

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 24

4 \cdot (20 + 4)

4 \cdot 20 + 4 \cdot 4

80 + 16

96

⇥

Δ = 25 + 96

⇥ⓘ On part de

25

et on avance de

96

sur la droite des nombres :

25 + 96

121

⇥

Δ = 121

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{1} = \frac{- 5 - \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{121}

11

;

11^{2}

121

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{1} = \frac{- 5 - 11}{-2}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{- 5 - 11}{-2}

- (\frac{- 5 - 11}{2})

⇥

x_{1} = - (\frac{- 5 - 11}{2})

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 5 - 11

-16

⇥

x_{1} = - (\frac{-16}{2})

⇥ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-16}{2})

\frac{16}{2}

⇥

x_{1} = \frac{16}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{16}{2}

8

⇥

x_{1} = 8

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{2} = \frac{- 5 + \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{121}

11

;

11^{2}

121

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{2} = \frac{- 5 + 11}{-2}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{- 5 + 11}{-2}

- (\frac{- 5 + 11}{2})

⇥

x_{2} = - (\frac{- 5 + 11}{2})

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 5 + 11

6

⇥

x_{2} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{2}

-3

⇥

x_{2} = -3

⇥Le trinôme est du signe de a =

-1

à l'extérieur de ses racines, donc il est bien négatif à l'extérieur de ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; -3] \cup [8; +∞ [

⇥Donc l'expression

x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)

est négative ou nulle sur

] -∞; -3] \cup [8; +∞ [

et positive sinon

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥2.2) Résolvons dans

ℝ

(x - 1) \cdot (x + 6) < 0

⇥On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥⇥L'expression

x - 1

s'annule en

x = 1

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

⇥⇥L'expression

x + 6

s'annule en

x = -6

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

3) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-6$		$-3$		$1$		$8$		$+∞$
$x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)$		-		-	0	+		+	0	-
$x - 1$		-		-		-	0	+		+
$x + 6$		-	0	+		+		+		+
$\frac{4 x}{x - 1} - (\frac{x}{x + 6} + 4)$		-	❌	+	0	-	❌	+	0	-

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; -6 [\cup [-3; 1 [\cup [8; +∞ [

4) Évaluons le domaine de

\frac{4 x}{x - 1} \leq \frac{x}{x + 6} + 4

Pour que l'expression

\frac{4 x}{x - 1}

existe, on doit vérifier :

x - 1 \neq 0

Pour que l'expression

\frac{x}{x + 6}

soit définie, on doit avoir :

x + 6 \neq 0

5) Résolvons dans

ℝ

x - 1 \neq 0

ⓘ On ajoute

1

aux deux membres

Solution trouvée :

x \neq 1

6) Résolvons dans

ℝ

x + 6 \neq 0

ⓘ On soustrait

6

aux deux membres

Solution trouvée :

x \neq -6

Construisons le tableau des différents éléments pour déterminer la solution globale :

x	$-∞$		$-6$		$1$		$+∞$
$x - 1 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
$x + 6 \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
Domaine de définition :		✅	❌	✅	❌	✅

Contraintes liées au domaine :

x \in ℝ \ {-6; 1}

▶Solution :

x \in] -∞; -6 [\cup [-3; 1 [\cup [8; +∞ [