(5x+5)/6-1<(19x+1)/3-(8x+1)/4 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{5 x + 5}{6} - 1 < \frac{19 x + 1}{3} - \frac{8 x + 1}{4}

ⓘ Une fraction dont le numérateur est une somme se sépare terme à terme, (a + b)/c = a/c + b/c :

- \frac{8 x + 1}{4}

- (2 x + \frac{1}{4})

ⅰ

\frac{5 x + 5}{6} - 1

\frac{(5 x + 5) + 6 \cdot (-1)}{6}

\frac{(5 x + 5) + 6 \cdot (-1)}{6} < \frac{19 x + 1}{3} - (2 x + \frac{1}{4})

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

6 \cdot (-1)

-6

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 x + \frac{1}{4})

- 2 x - \frac{1}{4}

\frac{5 x + 5 - 6}{6} < \frac{19 x + 1}{3} - 2 x - \frac{1}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

5 - 6

-1

ⅰ

\frac{19 x + 1}{3} - 2 x

\frac{(19 x + 1) + 3 \cdot (- 2 x)}{3}

\frac{5 x - 1}{6} < \frac{(19 x + 1) + 3 \cdot (- 2 x)}{3} - \frac{1}{4}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

3 \cdot (-2)

-6

\frac{5 x - 1}{6} < \frac{19 x + 1 - 6 x}{3} - \frac{1}{4}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

19 x - 6 x

13 x

\frac{5 x - 1}{6} < \frac{13 x + 1}{3} - \frac{1}{4}

2) Ajoutons les fractions :

\frac{5 x - 1}{6} - \frac{13 x + 1}{3} + \frac{1}{4} < 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{5 x - 1}{6} - \frac{13 x + 1}{3}

\frac{(5 x - 1) - (13 x + 1) \cdot 2}{6}

\frac{(5 x - 1) - (13 x + 1) \cdot 2}{6} + \frac{1}{4} < 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2}{6} + \frac{1}{4}

\frac{(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3}{6 \cdot 2}

\frac{(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3}{6 \cdot 2} < 0

ⅰ

6 \cdot 2

12

\frac{(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3}{12} < 0

Étudions le signe de

(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3

en résolvant dans

ℝ

(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3 < 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (13 x + 1) \cdot 2

- (26 x + 2)

(5 x - 1 - (26 x + 2)) \cdot 2

10 x - 2 - (26 x + 2) \cdot 2

10 x

- 2

- (26 x + 2) \cdot 2

+ 3 < 0

ⓘ On part de

-2

et on avance de

3

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 2 + 3

1

10 x + 1 - (26 x + 2) \cdot 2 < 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (26 x + 2) \cdot 2

- (52 x + 4)

10 x + 1 - (52 x + 4) < 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (52 x + 4)

- 52 x - 4

10 x

+ 1

- 52 x

- 4 < 0

ⓘ On part de

1

et on recule de

4

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

1 - 4

-3

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

10 x - 52 x

-42 x

- 42 x - 3 < 0

ⓘ On ajoute

3

aux deux membres

- 42 x < 3

On divise les deux membres par

-42

; ce nombre étant négatif, on inverse le sens de l'inégalité

x > \frac{3}{-42}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{3}{-42}

- \frac{3}{42}

x > - \frac{3}{42}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{3}{42}

- \frac{1 \cdot 3}{14 \cdot 3}

- \frac{1}{14}

Solution trouvée :

x > - \frac{1}{14}

⇥Donc l'expression

(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3

est négative sur

] - \frac{1}{14}; +∞ [

et positive ou nulle sinon

▶Solution obtenue :

x > - \frac{1}{14}

3) La valeur numérique de :

x > - \frac{1}{14}

vaut :

▷

x > -7,1429 \times 10^{- 2} (valeur approchée)