(dy)/(dx)+2xy=4x — solution étape par étape

1) Résolvons l'équation linéaire

y' + 2 x y = 4 x

, où

y

est une fonction de

x

. Les coefficients polynomiaux sont continus sur ℝ

La forme

y' + p y = q

donne

p = 2 x

q = 4 x

⇥1.1) Calculons l'intégrale :

\int(2 x)dx

⇥

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥ℹ

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{2 x^{2}}{2}

‖

\frac{2 x^{2}}{2}

x^{2}

⇥

x^{2}

Le facteur intégrant exp(∫p) vaut

\exp (x^{2})

, strictement positif sur ℝ

En multipliant par ce facteur, la règle du produit donne

{(\exp (x^{2}) y)}^{'}

4 x \exp (x^{2})

⇥1.2) Calculons l'intégrale :

\int(4 x \exp (x^{2}))dx

⇥Pour l'expression mathématique :

4 x \exp (x^{2})

, connaissant la formule de dérivation suivante :

\frac{d}{d x} (\exp (a)) = \exp (a)

, on peut essayer de dériver avec la fonction exp

⇥1.3) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\exp (x^{2}))

⇥On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\exp (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \exp (f)

avec f =

x^{2}

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) \cdot \exp (x^{2})

⇥

2 x \cdot \exp (x^{2})

⇥La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

⇥

\frac{4}{2} \cdot \exp (x^{2})

⇥

2 \exp (x^{2})

En intégrant,

\exp (x^{2}) y = 2 \exp (x^{2}) + C

. On divise par le facteur, qui ne s'annule jamais ;

C

est une constante réelle arbitraire, zéro compris

▶Solution :

y = \frac{2 \exp (x^{2}) + C}{\exp (x^{2})}