(dy)/(dx)+3y=40 — solution étape par étape

⚠ (dy)/(dx)+3y=40 est lu comme y'+3y=40 : utilisez dif(expression, variable) pour une dérivée par rapport à cette variable, utilisez (numérateur)/(dénominateur) pour un quotient

Résolvons l'équation linéaire

y' + 3 y = 40

, où

y

est une fonction de

x

. Les coefficients polynomiaux sont continus sur ℝ

La forme

y' + p y = q

donne

p = 3

q = 40

⇥1) Intégrons :

\int 3 d x

⇥ⓘ La dérivée de

3 x

est

3

, donc

3 x

est une primitive de

3

\int 3 d x

3 x

⇥

3 x

Le facteur intégrant exp(∫p) vaut

\exp (3 x)

, strictement positif sur ℝ

En multipliant par ce facteur, la règle du produit donne

{(\exp (3 x) y)}^{'}

40 \exp (3 x)

⇥2) Calculons l'intégrale :

\int 40 \exp (3 x) d x

⇥Pour l'expression mathématique :

40 \exp (3 x)

, sachant que (exp(a))' = a'*exp(a), on tente de dériver

\exp (3 x)

⇥3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\exp (3 x))

⇥On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\exp (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \exp (f)

avec f =

3 x

⇥ⓘ La dérivée de exp(x) est exp(x) :

\frac{d}{d x} (\exp (3 x))

\frac{d}{d x} (3 x) \cdot \exp (3 x)

⇥

\frac{d}{d x} (3 x) \cdot \exp (3 x)

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x)

3

⇥

3 \exp (3 x)

⇥La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

⇥ⓘ La dérivée de

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

est

40 \exp (3 x)

, donc

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

est une primitive de

40 \exp (3 x)

\int 40 \exp (3 x) d x

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

⇥

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

\frac{40 \exp (3 x)}{3}

⇥

\frac{40 \exp (3 x)}{3}

En intégrant,

\exp (3 x) y = \frac{40 \exp (3 x)}{3} + C

. On divise par le facteur, qui ne s'annule jamais ;

C

est une constante réelle arbitraire, zéro compris

▶Solution :

y = \frac{40}{3} + \frac{C}{\exp (3 x)}