(ln(1+x))^2+2ln(1+x)>0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

{\ln (1 + x)}^{2} + 2 \cdot \ln (1 + x) > 0

On peut mettre l'expression :

{\ln (x + 1)}^{2} + 2 \cdot \ln (x + 1)

en facteurs :

\ln (x + 1) \cdot (\ln (x + 1) + 2)

On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥1.1) Étudions le signe de

\ln (x + 1)

en élargissant le signe à ≥ et en résolvant dans

ℝ

\ln (x + 1) \geq 0

⇥On peut appliquer la fonction exp des deux côtés :

⇥

e^{\ln (x + 1)} \geq e^{0}

⇥ⓘ Pour

x

réel,

\ln (\exp (x)) = x

; lorsque

\ln (x)

est défini,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (x + 1)}

x + 1

■Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

e^{0}

1

⇥

x + 1 \geq 1

⇥ⓘ On soustrait

1

aux deux membres

⇥

x \geq 1 - 1

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x \geq 0

⇥Donc l'expression

\ln (x + 1)

est positive ou nulle sur

[0; +∞ [

et négative sinon

⇥1.2) Étudions le signe de

\ln (x + 1) + 2

en élargissant le signe à ≥ et en résolvant dans

ℝ

\ln (x + 1) + 2 \geq 0

⇥Appliquons la fonction exp des deux côtés :

⇥

e^{\ln (x + 1)} \geq e^{-2}

⇥ⓘ Pour

x

réel,

\ln (\exp (x)) = x

; lorsque

\ln (x)

est défini,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (x + 1)}

x + 1

■On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

e^{-2}

\frac{1}{e^{2}}

⇥

x + 1 \geq \frac{1}{e^{2}}

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x \geq \frac{1}{e^{2}} - 1

⇥Donc l'expression

\ln (x + 1) + 2

est positive ou nulle sur

[\frac{1}{e^{2}} - 1; +∞ [

et négative sinon

2) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$\frac{1}{e^{2}} - 1$		$0$		$+∞$
$\ln (x + 1)$		-		-	0	+
$\ln (x + 1) + 2$		-	0	+		+
${\ln (1 + x)}^{2} + 2 \cdot \ln (1 + x)$		+	0	-	0	+

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; \frac{1}{e^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

3) Cherchons le domaine de

{\ln (1 + x)}^{2} + 2 \cdot \ln (1 + x) > 0

Pour que l'expression

\ln (1 + x)

existe, on doit vérifier :

1 + x > 0

ⓘ On soustrait

1

aux deux membres

Contraintes liées au domaine :

x > -1

▶Solution :

x \in] -1; \frac{1}{e^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

4) La valeur numérique de :

x \in] -1; \frac{1}{e^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

vaut :

x \in] -1; \frac{1}{{\approx 2,7183}^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; \frac{1}{\approx 7,3891} - 1 [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; \frac{1 - 1 \cdot \approx 7,3891}{\approx 7,3891} [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; \frac{1 - \approx 7,3891}{\approx 7,3891} [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; - \frac{\approx 6,3891}{\approx 7,3891} [\cup] 0; +∞ [

▷

x \in] -1; \approx -0,8647 [\cup] 0; +∞ [