(-3*a-3*b-3*c)^2 — solution étape par étape

Calculons :

{(- 3 a - 3 b - 3 c)}^{2}

ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 3 a - 3 b - 3 c

- (3 a + 3 b + 3 c)

■Avec un exposant entier pair, le signe moins dans la base disparaît ; avec un exposant entier impair, il passe devant la puissance :

{(- (3 a + 3 b + 3 c))}^{2}

{(3 a + 3 b + 3 c)}^{2}

{(3 a + 3 b + 3 c)}^{2}

ⓘ On extrait le facteur numérique commun

3

avant de développer la puissance :

{(3 a + 3 b + 3 c)}^{2}

3^{2} \cdot {(a + b + c)}^{2}

3^{2} \cdot {(a + b + c)}^{2}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

9 \cdot {(a + b + c)}^{2}

Avec la formule multinomiale :

{(x 1 + x 2 + \dots + x k)}^{n} = \sum_{m 1 + m 2 + \dots + m k = n}^{m i \geq 0} (\frac{n!}{m 1! m 2! \dots m k!}) {x 1}^{m 1} {x 2}^{m 2} \dots {x k}^{m k}

, développons l'expression :

ⅰ

{(a + b + c)}^{2}

\frac{2!}{2! \cdot 0! \cdot 0!} \cdot a^{2} b^{0} c^{0}

+ \frac{2!}{1! \cdot 1! \cdot 0!} \cdot a^{1} b^{1} c^{0}

+ \frac{2!}{0! \cdot 2! \cdot 0!} \cdot a^{0} b^{2} c^{0}

+ \frac{2!}{1! \cdot 0! \cdot 1!} \cdot a^{1} b^{0} c^{1}

+ \frac{2!}{0! \cdot 1! \cdot 1!} \cdot a^{0} b^{1} c^{1}

+ \frac{2!}{0! \cdot 0! \cdot 2!} \cdot a^{0} b^{0} c^{2}

9 \cdot (\frac{2!}{2! \cdot 0! \cdot 0!} \cdot a^{2} b^{0} c^{0}

+ \frac{2!}{1! \cdot 1! \cdot 0!} \cdot a^{1} b^{1} c^{0}

+ \frac{2!}{0! \cdot 2! \cdot 0!} \cdot a^{0} b^{2} c^{0}

+ \frac{2!}{1! \cdot 0! \cdot 1!} \cdot a^{1} b^{0} c^{1}

+ \frac{2!}{0! \cdot 1! \cdot 1!} \cdot a^{0} b^{1} c^{1}

+ \frac{2!}{0! \cdot 0! \cdot 2!} \cdot a^{0} b^{0} c^{2})

ⓘ Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1. Dans ce calcul, on adopte la convention 0^0 = 1 :

b^{0}

1

c^{0}

1

a^{0}

1

9 \cdot (\frac{2!}{2! \cdot 0! \cdot 0!} \cdot a^{2}

+ \frac{2!}{1! \cdot 1! \cdot 0!} \cdot a b

+ \frac{2!}{0! \cdot 2! \cdot 0!} \cdot b^{2}

+ \frac{2!}{1! \cdot 0! \cdot 1!} \cdot a c

+ \frac{2!}{0! \cdot 1! \cdot 1!} \cdot b c

+ \frac{2!}{0! \cdot 0! \cdot 2!} \cdot c^{2})

ⓘ La factorielle d'un nombre est le produit de tous les entiers de 1 à ce nombre :

2!

2

1!

1

■Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

2 \cdot 1 \cdot 1

2

1 \cdot 1 \cdot 1

1

1 \cdot 2 \cdot 1

2

1 \cdot 1 \cdot 2

2

9 \cdot (\frac{2}{2} \cdot a^{2}

+ \frac{2}{1} \cdot a b

+ \frac{2}{2} \cdot b^{2}

+ \frac{2}{1} \cdot a c

+ \frac{2}{1} \cdot b c

+ \frac{2}{2} \cdot c^{2})

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

1 \cdot a^{2}

a^{2}

1 \cdot b^{2}

b^{2}

1 \cdot c^{2}

c^{2}

9 \cdot (a^{2}

+ 2 a b

+ b^{2}

+ 2 a c

+ 2 b c

+ c^{2})

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

9 \cdot (a^{2}

+ 2 a b

+ b^{2}

+ 2 a c

+ 2 b c

+ c^{2})

9 a^{2}

+ 18 a b

+ 9 b^{2}

+ 18 a c

+ 18 b c

+ 9 c^{2}

9 a^{2}

+ 18 a b

+ 9 b^{2}

+ 18 a c

+ 18 b c

+ 9 c^{2}

▶Résultat :

9 a^{2}

+ 18 a b

+ 18 a c

+ 9 b^{2}

+ 18 b c

+ 9 c^{2}