(x-1)/(x+3)>(x-4)/(x+2) — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{x - 1}{x + 3} > \frac{x - 4}{x + 2}

2) Additionnons les fractions :

\frac{x - 1}{x + 3} - \frac{x - 4}{x + 2} > 0

ⓘ Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- \frac{x - 4}{x + 2}

\frac{- x + 4}{x + 2}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{x - 1}{x + 3} + \frac{- x + 4}{x + 2}

\frac{(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)}{(x + 3) \cdot (x + 2)}

\frac{(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)}{(x + 3) \cdot (x + 2)} > 0

On étudie le signe du numérateur

⇥2.1) Étudions le signe de

(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)

en résolvant dans

ℝ

(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3) > 0

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(x - 1) \cdot (x + 2)

x \cdot x

+ x \cdot 2

- 1 \cdot x

- 1 \cdot 2

(- x + 4) \cdot (x + 3)

- x \cdot x

- x \cdot 3

+ 4 x

+ 4 \cdot 3

⇥

x \cdot x

+ x \cdot 2

- 1 \cdot x

- 1 \cdot 2

- x \cdot x

- x \cdot 3

+ 4 x

+ 4 \cdot 3 > 0

⇥ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

■Multiplier par 1 ne change rien :

1 \cdot x

x

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

1 \cdot 2

2

4 \cdot 3

12

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x \cdot 2

- x \cdot x

- x \cdot 3

+ 4 x

3 x - x^{2}

⇥

x^{2}

+ 3 x

- x

- 2

- x^{2}

+ 12 > 0

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

3 x - x

2 x

x^{2} - x^{2}

0

■On part de

-2

et on avance de

12

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 2 + 12

10

⇥

0 + 2 x + 10 > 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 2 x

2 x

⇥

2 x + 10 > 0

⇥ⓘ On soustrait

10

aux deux membres

⇥

2 x > -10

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥

x > - \frac{10}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{10}{2}

-5

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x > -5

⇥Donc l'expression

(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)

est positive sur

] -5; +∞ [

et négative ou nulle sinon

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥2.2) Résolvons dans

ℝ

(x + 3) \cdot (x + 2) > 0

⇥On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥⇥L'expression

x + 3

s'annule en

x = -3

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

⇥⇥L'expression

x + 2

s'annule en

x = -2

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

3) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-5$		$-3$		$-2$		$+∞$
$(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)$		-	0	+		+		+
$x + 3$		-		-	0	+		+
$x + 2$		-		-		-	0	+
$\frac{x - 1}{x + 3} - \frac{x - 4}{x + 2}$		-	0	+	❌	-	❌	+

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -5; -3 [\cup] -2; +∞ [

4) Évaluons le domaine de

\frac{x - 1}{x + 3} > \frac{x - 4}{x + 2}

Pour que l'expression

\frac{x - 1}{x + 3}

soit définie, on doit avoir :

x + 3 \neq 0

Pour que l'expression

\frac{x - 4}{x + 2}

existe, on doit vérifier :

x + 2 \neq 0

5) Résolvons dans

ℝ

x + 3 \neq 0

ⓘ On soustrait

3

aux deux membres

Solution trouvée :

x \neq -3

6) Résolvons dans

ℝ

x + 2 \neq 0

ⓘ On soustrait

2

aux deux membres

Solution obtenue :

x \neq -2

Construisons le tableau des différents éléments pour déterminer la solution globale :

x	$-∞$		$-3$		$-2$		$+∞$
$x + 3 \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
$x + 2 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
Domaine de définition :		✅	❌	✅	❌	✅

Contraintes liées au domaine :

x \in ℝ \ {-3; -2}

▶Solution :

x \in] -5; -3 [\cup] -2; +∞ [