Résolvons dans $ℝ$ : ${(x+1)}^2=-2·{(x-1)}^2$

${(x+1)}^2+2·{(x-1)}^2=0$

ⓘ Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même : ${(x+1)}^2$ = $(x+1)·(x+1)$, ${(x-1)}^2$ = $(x-1)·(x-1)$

$(x+1)·(x+1)+2·(x-1)·(x-1)=0$

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse : $(x+1)·(x+1)$ = $x·x$$+x·1$$+1·x$$+1·1$, $2·(x-1)$ = $2x-2$

$x·x$$+x·1$$+1·x$$+1·1$$+(2x-2)·(x-1)=0$

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants : $x·x$ = $x^2$■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions : $1·1$ = $1$

$x^2$$+x$$+x$$+1$$+(2x-2)·(x-1)=0$

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : $x+x$ = $2x$

$x^2$$+2x$$+1$$+(2x-2)·(x-1)=0$

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse : $(2x-2)·(x-1)$ = $2·x·x$$+2x·\left(-1\right)$$-2x$$-2·\left(-1\right)$

$x^2$$+2x$$+1$$+2·x·x$$+2x·\left(-1\right)$$-2x$$-2·\left(-1\right)=0$

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants : $x·x$ = $x^2$■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif : $2·\left(-1\right)$ = $-2$■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : $2x-2x$ = $0$■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif : $-2·\left(-1\right)$ = $2$

$x^2$$+0$$+1$$+2x^2$$-2x$$+2=0$

ⓘ Additionner 0 ne change rien : $0+1$ = $1$■On part de $1$ et on avance de $2$ sur la droite des nombres : $1+2$ = $3$■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : $x^2+2x^2$ = $3x^2$

$3x^2+3-2x=0$

Vu la forme quadratique $a{x}^2+bx+c$, on calcule le discriminant : $\Delta =b^2-4ac$. Ici $a=3$, $b=-2$ et $c=3$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4·3·3$

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété : ${\left(-2\right)}^2$ = $\left(-2\right)·\left(-2\right)$ = $4$■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions : $4·3$ = $12$

$\Delta =4-12·3$

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions : $12·3$ = $(10+2)·3$ = $10·3+2·3$ = $30+6$ = $36$

$\Delta =4-36$

ⓘ On part de $4$ et on recule de $36$ sur la droite des nombres, en passant sous zéro : $4-36$ = $-32$

$\Delta =-32$

Comme $\Delta <0$, l'équation n'a pas de racine réelle.

▶Solution : $x\in \varnothing$