(x^2-x-2)/(x^2-4x+3)>= 0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 4 x + 3} \geq 0

On étudie le signe du numérateur

⇥1.1) Étudions le signe de

x^{2} - x - 2

en résolvant dans

ℝ

x^{2} - x - 2 \geq 0

⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -2

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 3

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 3

4

⇥

x_{2} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{2} = 2

⇥Le trinôme est du signe de a =

1

à l'extérieur de ses racines, donc il est bien positif à l'extérieur de ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; -1] \cup [2; +∞ [

⇥Donc l'expression

x^{2} - x - 2

est positive ou nulle sur

] -∞; -1] \cup [2; +∞ [

et négative sinon

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥1.2) Étudions le signe de

x^{2} - 4 x + 3

en résolvant dans

ℝ

x^{2} - 4 x + 3 > 0

⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -4

c = 3

⇥

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

⇥

Δ = 16 - 4 \cdot 3

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

⇥

Δ = 16 - 12

⇥ⓘ On part de

16

et on recule de

12

sur la droite des nombres :

16 - 12

4

⇥

Δ = 4

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

⇥

x_{1} = \frac{4 - 2}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 - 2

2

⇥

x_{1} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

⇥

x_{1} = 1

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

⇥

x_{2} = \frac{4 + 2}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 + 2

6

⇥

x_{2} = \frac{6}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

⇥

x_{2} = 3

⇥Le trinôme est du signe de a =

1

à l'extérieur de ses racines, donc il est bien positif à l'extérieur de ses racines ; les racines, où il s'annule, sont exclues.

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; 1 [\cup] 3; +∞ [

⇥Donc l'expression

x^{2} - 4 x + 3

est positive sur

] -∞; 1 [\cup] 3; +∞ [

et négative ou nulle sinon

2) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-1$		$1$		$2$		$3$		$+∞$
$x^{2} - x - 2$		+	0	-		-	0	+		+
$x^{2} - 4 x + 3$		+		+	0	-		-	0	+
$\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 4 x + 3}$		+	0	-	❌	+	0	-	❌	+

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; -1] \cup] 1; 2] \cup] 3; +∞ [

3) Cherchons le domaine de

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 4 x + 3} \geq 0

Pour que l'expression

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 4 x + 3}

existe, on doit vérifier :

x^{2} - 4 x + 3 \neq 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -4

c = 3

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

Δ = 16 - 4 \cdot 3

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

Δ = 16 - 12

ⓘ On part de

16

et on recule de

12

sur la droite des nombres :

16 - 12

4

Δ = 4

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

x_{1} = \frac{4 - 2}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 - 2

2

x_{1} = \frac{2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

x_{1} = 1

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

x_{2} = \frac{4 + 2}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 + 2

6

x_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

x_{2} = 3

Contraintes liées au domaine :

x \in ℝ \ {1; 3}

▶Solution :

x \in] -∞; -1] \cup] 1; 2] \cup] 3; +∞ [