(x^2-x-2)/(x^2+4x+3)<= 0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3} \leq 0

On étudie le signe du numérateur

⇥1.1) Étudions le signe de

x^{2} - x - 2

en résolvant dans

ℝ

x^{2} - x - 2 \leq 0

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -2

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 3

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 3

4

⇥

x_{2} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{2} = 2

⇥Le trinôme est du signe opposé à a =

1

entre ses racines, donc il est bien négatif entre ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x \in [-1; 2]

⇥Donc l'expression

x^{2} - x - 2

est négative ou nulle sur

[-1; 2]

et positive sinon

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥1.2) Étudions le signe de

x^{2} + 4 x + 3

en résolvant dans

ℝ

x^{2} + 4 x + 3 < 0

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 4

c = 3

⇥

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{2}

4 \cdot 4

16

⇥

Δ = 16 - 4 \cdot 3

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

⇥

Δ = 16 - 12

⇥ⓘ On part de

16

et on recule de

12

sur la droite des nombres :

16 - 12

4

⇥

Δ = 4

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

⇥

x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 4 - 2

-6

⇥

x_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{2}

-3

⇥

x_{1} = -3

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

⇥

x_{2} = \frac{- 4 + 2}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 4 + 2

-2

⇥

x_{2} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{2} = -1

⇥Le trinôme est du signe opposé à a =

1

entre ses racines, donc il est bien négatif entre ses racines ; les racines, où il s'annule, sont exclues.

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -3; -1 [

⇥Donc l'expression

x^{2} + 4 x + 3

est négative sur

] -3; -1 [

et positive ou nulle sinon

2) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-3$		$-1$		$2$		$+∞$
$x^{2} - x - 2$		+		+	0	-	0	+
$x^{2} + 4 x + 3$		+	0	-	0	+		+
$\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$		+	❌	-	❌	-	0	+

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -3; -1 [\cup] -1; 2]

3) Évaluons le domaine de

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3} \leq 0

Pour que l'expression

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}

existe, on doit vérifier :

x^{2} + 4 x + 3 \neq 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 4

c = 3

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{2}

4 \cdot 4

16

Δ = 16 - 4 \cdot 3

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

Δ = 16 - 12

ⓘ On part de

16

et on recule de

12

sur la droite des nombres :

16 - 12

4

Δ = 4

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 4 - 2

-6

x_{1} = - \frac{6}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{2}

-3

x_{1} = -3

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

x_{2} = \frac{- 4 + 2}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 4 + 2

-2

x_{2} = - \frac{2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

x_{2} = -1

Contraintes liées au domaine :

x \in ℝ \ {-3; -1}

▶Solution :

x \in] -3; -1 [\cup] -1; 2]