(xdy)/(dx)=y+sqrt(x^2-y^2) — solution étape par étape

⚠ (xdy)/(dx)=y+sqrt(x^2-y^2) est lu comme (x)*y'=y+sqrt(x^2-y^2) : utilisez dif(expression, variable) pour une dérivée par rapport à cette variable, utilisez (numérateur)/(dénominateur) pour un quotient

1) Résolvons l'équation différentielle

x \cdot y' = y + \sqrt{x^{2} - y^{2}}

, où

y

est une fonction de

x

; sur un intervalle où

x > 0

, on peut isoler

y'

y' = \frac{y + \sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}

Sur cet intervalle, le membre droit ne dépend que de

\frac{y}{x}

: l'équation est homogène. Avec

v = \frac{y}{x}

, elle s'écrit

y' = v + \sqrt{1 - v^{2}}

On pose

y = v x

, où

v

est une fonction de

x

: alors

y' = v + x \cdot v'

, et l'équation devient

v + x \cdot v' = v + \sqrt{1 - v^{2}}

, soit

x \cdot v' = \sqrt{1 - v^{2}}

Le membre droit est défini pour

v \in [-1; 1]

; cette condition reste nécessaire pour chaque branche

Avant de diviser,

\sqrt{1 - v^{2}} = 0

donne les solutions d'équilibre

v = {-1; 1}

, soit

(y = - x \lor y = x)

Sur les intervalles où

\sqrt{1 - v^{2}} \neq 0

, on sépare les variables :

\frac{dv}{\sqrt{1 - v^{2}}} = \frac{dx}{x}

⇥1.1) Intégrons :

\int \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}} d v

⇥ⓘ La dérivée de

\arcsin (v)

est

\frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

, donc

\arcsin (v)

est une primitive de

\frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

\int \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}} d v

\arcsin (v)

⇥

\arcsin (v)

En intégrant les deux membres, avec

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

puisque

x \neq 0

\arcsin (v) = \ln | x | + C

, où

C

est une constante réelle arbitraire, propre à chaque intervalle

On isole

v

v = \sin (\ln | x | + C)

. Comme

y = v x

, les branches de solutions sont :

Ces branches sont valables sur les intervalles où

x > 0

. Aux points où

\sqrt{1 - v^{2}} = 0

, un raccord avec un équilibre doit conserver la valeur et la dérivée et vérifier l'équation initiale

Sur un intervalle où

x < 0

, on peut isoler

y'

y' = \frac{y + \sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}

Sur cet intervalle, le membre droit ne dépend que de

\frac{y}{x}

: l'équation est homogène. Avec

v = \frac{y}{x}

, elle s'écrit

y' = v - \sqrt{1 - v^{2}}

On pose

y = v x

, où

v

est une fonction de

x

: alors

y' = v + x \cdot v'

, et l'équation devient

v + x \cdot v' = v - \sqrt{1 - v^{2}}

, soit

x \cdot v' = - \sqrt{1 - v^{2}}

Le membre droit est défini pour

v \in [-1; 1]

; cette condition reste nécessaire pour chaque branche

Avant de diviser,

- \sqrt{1 - v^{2}} = 0

donne les solutions d'équilibre

v = {-1; 1}

, soit

(y = - x \lor y = x)

Sur les intervalles où

- \sqrt{1 - v^{2}} \neq 0

, on sépare les variables :

- \frac{dv}{\sqrt{1 - v^{2}}} = \frac{dx}{x}

⇥1.2) Calculons l'intégrale :

\int (- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}) d v

⇥ⓘ La dérivée de

\arccos (v)

est

- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

, donc

\arccos (v)

est une primitive de

- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

\int (- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}) d v

\arccos (v)

⇥

\arccos (v)

En intégrant les deux membres, avec

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

puisque

x \neq 0

\arccos (v) = \ln | x | + C

, où

C

est une constante réelle arbitraire, propre à chaque intervalle

On isole

v

v = \cos (\ln | x | + C)

. Comme

y = v x

, les branches de solutions sont :

Ces branches sont valables sur les intervalles où

x < 0

. Aux points où

- \sqrt{1 - v^{2}} = 0

, un raccord avec un équilibre doit conserver la valeur et la dérivée et vérifier l'équation initiale

▶Solution :

((x > 0 \land (y = - x \lor y = x \lor y = x \cdot \sin (\ln | x | + C))) \lor (x < 0 \land (y = - x \lor y = x \lor y = x \cdot \cos (\ln | x | + C))))