parite de csc(csc(x)) — solution étape par étape

Étudions la parité de

\csc (\csc (x))

par rapport à

x

La cosécante est lue

\csc (u) = \frac{1}{\sin (u)}

, sur chaque intervalle où

\sin (u) \neq 0

Le domaine est

{x \neq k π; k \in ℤ; \sin (\frac{1}{\sin (x)}) \neq 0}

Remplacer

x

par -

x

ne change pas les conditions du domaine :

\sin (\frac{1}{\sin (- x)}) = - \sin (\frac{1}{\sin (x)})

, et

- \sin (\frac{1}{\sin (x)}) \neq 0

équivaut à

\sin (\frac{1}{\sin (x)}) \neq 0

Ce domaine est symétrique par rapport à 0 : si

x

est dans le domaine, -

x

y est aussi

On remplace

x

par -

x

: f(-

x

) =

\frac{1}{\sin (\frac{1}{\sin (- x)})}

⇥

\frac{1}{\sin (\frac{1}{\sin (- x)})}

⇥ⓘ sin est impaire, sin(-x) = -sin(x) :

\sin (- x)

- \sin (x)

⇥

\frac{1}{\sin (\frac{1}{- \sin (x)})}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{1}{- \sin (x)}

- \frac{1}{\sin (x)}

■sin est impaire, sin(-x) = -sin(x) :

\sin (- \frac{1}{\sin (x)})

- \sin (\frac{1}{\sin (x)})

⇥

\frac{1}{- \sin (\frac{1}{\sin (x)})}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{1}{- \sin (\frac{1}{\sin (x)})}

- \frac{1}{\sin (\frac{1}{\sin (x)})}

⇥

- \frac{1}{\sin (\frac{1}{\sin (x)})}

f(-

x

) = -f(

x

) : la fonction est impaire

▶Parité : $impaire$