points critiques de x^3-6x^2+9x+1

1) Un polynôme est dérivable sur ℝ : ses points critiques sont les zéros de sa dérivée

⇥1.1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1)

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (9 x)

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (9 x)

+ 0

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

-6 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (9 x)

9

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (9 x) + 0

\frac{d}{d x} (9 x)

⇥

3 x^{2} - 6 \cdot 2 x + 9

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

6 \cdot 2

12

⇥

3 x^{2} - 12 x + 9

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

3 x^{2} - 12 x + 9 = 0

⇥Comme

3 \neq 0

, on divise les deux membres par

3

x^{2} - 4 x + 3 = 0

⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -4

c = 3

⇥

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

⇥

Δ = 16 - 4 \cdot 3

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

⇥

Δ = 16 - 12

⇥ⓘ On part de

16

et on recule de

12

sur la droite des nombres :

16 - 12

4

⇥

Δ = 4

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

⇥

x_{1} = \frac{4 - 2}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 - 2

2

⇥

x_{1} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

⇥

x_{1} = 1

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

⇥

x_{2} = \frac{4 + 2}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 + 2

6

⇥

x_{2} = \frac{6}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

⇥

x_{2} = 3

▶Solutions obtenues :

x = {1; 3}