points d'inflexion de 3x^5-10x^3 — solution étape par étape

1) Pour

3 x^{5} - 10 x^{3}

sur ℝ, cherchons où la dérivée seconde s'annule et change de signe

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (3 x^{5} - 10 x^{3})

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 x^{5} - 10 x^{3})

\frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3})

⇥

\frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3})

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x^{5})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{5})

\frac{d}{d x} (- 10 x^{3})

-10 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{5})

5 x^{4}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

3 \cdot 5 x^{4} - 10 \cdot 3 x^{2}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 5

15

10 \cdot 3

30

⇥

15 x^{4} - 30 x^{2}

La dérivée première est

15 x^{4} - 30 x^{2}

⇥1.2) Dérivons :

\frac{d}{d x} (15 x^{4} - 30 x^{2})

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (15 x^{4} - 30 x^{2})

\frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})

⇥

\frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (15 x^{4})

15 \cdot \frac{d}{d x} (x^{4})

\frac{d}{d x} (- 30 x^{2})

-30 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

15 \cdot 4 x^{3} - 30 \cdot 2 x

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

15 \cdot 4

(10 + 5) \cdot 4

10 \cdot 4 + 5 \cdot 4

40 + 20

60

30 \cdot 2

60

⇥

60 x^{3} - 60 x

La dérivée seconde est

60 x^{3} - 60 x

⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

60 x^{3} - 60 x = 0

⇥On peut mettre l'expression :

60 x^{3} - 60 x

en facteurs :

x \cdot (60 x^{2} - 60)

⇥Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥⇥1.3.1) Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥⇥Solution obtenue :

x = 0

⇥⇥1.3.2) Résolvons dans

ℝ

60 x^{2} - 60 = 0

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

60

⇥⇥

x^{2} = 1

⇥⇥Les deux nombres dont le carré vaut

1

sont

-1

1

⇥⇥Solutions trouvées :

x = {-1; 1}

⇥1.4) Dérivons :

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (60 x^{3})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 60 x)

-60

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 3 x^{2} - 60

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

60 \cdot 3

180

⇥

180 x^{2} - 60

x = -1

, le zéro de la dérivée seconde est d'ordre 1 : cet ordre est impair, donc la convexité change

Au voisinage de

-1

, la dérivée seconde est négative à gauche et positive à droite : la courbe passe de concave à convexe

⇥

3 \cdot {(-1)}^{5} - 10 \cdot {(-1)}^{3}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{5}

(-1) \cdot ... \cdot (-1)

, 5 fois =

-1

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

3 \cdot (-1)

-3

- 10 \cdot (-1)

10

⇥

- 3 + 10

⇥ⓘ On part de

-3

et on avance de

10

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 3 + 10

7

⇥

7

L'ordonnée est f(

-1

) =

7

⇥1.5) Dérivons :

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (60 x^{3})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 60 x)

-60

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 3 x^{2} - 60

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

60 \cdot 3

180

⇥

180 x^{2} - 60

x = 0

, le zéro de la dérivée seconde est d'ordre 1 : cet ordre est impair, donc la convexité change

Au voisinage de

0

, la dérivée seconde est positive à gauche et négative à droite : la courbe passe de convexe à concave

⇥

3 \cdot 0^{5} - 10 \cdot 0^{3}

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

3 \cdot 0

0

10 \cdot 0

0

⇥

0 + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 0

0

⇥

0

L'ordonnée est f(

0

) =

0

⇥1.6) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (60 x^{3})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 60 x)

-60

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 3 x^{2} - 60

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

60 \cdot 3

180

⇥

180 x^{2} - 60

x = 1

, le zéro de la dérivée seconde est d'ordre 1 : cet ordre est impair, donc la convexité change

Au voisinage de

1

, la dérivée seconde est négative à gauche et positive à droite : la courbe passe de concave à convexe

⇥

3 \cdot 1^{5} - 10 \cdot 1^{3}

⇥

3 - 10

⇥ⓘ On part de

3

et on recule de

10

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

3 - 10

-7

⇥

-7

L'ordonnée est f(

1

) =

-7

▶Points d'inflexion :

{(-1; 7); (0; 0); (1; -7)}

🖼/draw?f1=3*x%5E5+-+10*x%5E3&v=x&b=-2.0&e=2.0&min=-19.2&max=19.2&points=-1%2C7%3B0%2C0%3B1%2C-7