points d'inflexion de f(x)=1/(x-2)

⇥1) Cherchons le domaine de

\frac{1}{x - 2}

⇥ Pour que l'expression

\frac{1}{x - 2}

soit définie, on doit avoir :

x - 2 \neq 0

⇥ⓘ On ajoute

2

aux deux membres

⇥Solution trouvée :

x \neq 2

Un point d'inflexion doit appartenir à la courbe : on reste dans le domaine

x \neq 2

⇥Pour simplifier la dérivation, on réécrit

\frac{1}{x - 2}

{(x - 2)}^{-1}

⇥2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{-1})

⇥On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x - 2

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥

- \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

- \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}

⇥

- \frac{\frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x - 2)

1 + 0

⇥

- \frac{1 + 0}{{(x - 2)}^{2}}

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

⇥

- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}

⇥Pour simplifier la dérivation, on réécrit

- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}

-1 \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (-1 \cdot {(x - 2)}^{-2})

⇥ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot {(x - 2)}^{-2}

- {(x - 2)}^{-2}

⇥

\frac{d}{d x} (- {(x - 2)}^{-2})

⇥On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x - 2

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (- {(x - 2)}^{-2})

- (-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3})

⇥

- (-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3})

⇥ⓘ On extrait les signes moins : un nombre pair de signes moins s'annule, un nombre impair laisse un signe moins :

- (-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3}

⇥

2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3}

⇥ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{3}}

⇥

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{3}}

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x - 2)

1 + 0

⇥

\frac{2 \cdot (1 + 0)}{{(x - 2)}^{3}}

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

⇥

\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}

La dérivée seconde

\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}

est nulle partout ou ne s'annule jamais sur chaque intervalle du domaine. Le pôle exclu ne constitue pas un point d'inflexion

▶Points d'inflexion :

\emptyset