points d'inflexion de f(x)=-x^3+3x^2-1

1) Pour

- x^{3} + 3 x^{2} - 1

sur ℝ, cherchons où la dérivée seconde s'annule et change de signe

⇥1.1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (- x^{3} + 3 x^{2} - 1)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (- x^{3} + 3 x^{2} - 1)

\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (- x^{3})

- 3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

- 3 x^{2} + 3 \cdot 2 x

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 2

6

⇥

- 3 x^{2} + 6 x

⇥

6 x - 3 x^{2}

⇥L'expression peut être factorisée en :

x \cdot (6 - 3 x)

⇥Mettons en facteurs dans

ℝ

(6 - 3 x)

⇥On met en facteur

3

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

6 - 3 x

3 \cdot (2 - x)

⇥Facteur trouvé :

2 - x

La dérivée première est

3 x \cdot (2 - x)

⇥1.2) Dérivons :

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (2 - x))

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (2 - x))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥Pour

u1

x

v2

2 - x

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

⇥1.3) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥1.4) Effectuons la dérivation

v2

\frac{d}{d x} (2 - x)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (2 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (- x)

-1

⇥

-1

⇥1.5) Évaluons la dérivée obtenue (

u1 \cdot v2

)' :

1 \cdot (2 - x) + x \cdot (-1)

⇥ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

x \cdot (-1)

- x

⇥

2 - x - x

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- x - x

-2 x

⇥

2 - 2 x

⇥1.6) Ensuite, on continue la dérivation :

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

2 - 2 x

⇥

3 \cdot (2 - 2 x)

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

3 \cdot (2 - 2 x)

6 - 6 x

⇥

6 - 6 x

La dérivée seconde est

6 - 6 x

⇥1.7) Résolvons dans

ℝ

6 - 6 x = 0

⇥ⓘ On ajoute

6 x

aux deux membres

⇥

6 = 6 x

⇥ⓘ On divise les deux membres par

6

⇥

x = \frac{6}{6}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{6}

1

⇥Solution trouvée :

x = 1

⇥1.8) Dérivons :

\frac{d}{d x} (6 - 6 x)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (6 - 6 x)

0 + \frac{d}{d x} (- 6 x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- 6 x)

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (- 6 x)

\frac{d}{d x} (- 6 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 6 x)

-6

⇥

-6

x = 1

, le zéro de la dérivée seconde est d'ordre 1 : cet ordre est impair, donc la convexité change

Au voisinage de

1

, la dérivée seconde est positive à gauche et négative à droite : la courbe passe de convexe à concave

⇥

- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 1

⇥

- 1 + 3 - 1

⇥ⓘ On part de

-1

et on avance de

3

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 1 + 3

2

⇥

2 - 1

⇥ⓘ On part de

2

et on recule de

1

sur la droite des nombres :

2 - 1

1

⇥

1

L'ordonnée est f(

1

) =

1

▶Points d'inflexion :

{(1; 1)}

🖼/draw?f1=-x%5E3+%2B+3*x%5E2+-+1&v=x&b=-1.0&e=3.0&min=-1.4&max=3.4&points=1%2C1