points d'inflexion de f(x)=x^3-6x^2+7

1) Pour

x^{3} - 6 x^{2} + 7

sur ℝ, cherchons où la dérivée seconde s'annule et change de signe

⇥1.1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 7)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 7)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + 0

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

-6 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

3 x^{2} - 6 \cdot 2 x

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

6 \cdot 2

12

⇥

3 x^{2} - 12 x

⇥On peut factoriser l'expression en :

x \cdot (3 x - 12)

⇥Factorisons dans

ℝ

(3 x - 12)

⇥On met en facteur

3

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

3 x - 12

3 \cdot (x - 4)

⇥Facteur trouvé :

x - 4

La dérivée première est

3 x \cdot (x - 4)

⇥1.2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (x - 4))

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (x - 4))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (x - 4))

⇥

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (x - 4))

⇥Pour

u1

x

v2

x - 4

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

⇥1.3) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥1.4) Dérivons

v2

\frac{d}{d x} (x - 4)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x - 4)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

⇥

1

⇥1.5) On évalue la dérivée résultante (

u1 \cdot v2

)' :

1 \cdot (x - 4) + x \cdot 1

⇥

x - 4 + x

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x + x

2 x

⇥

2 x - 4

⇥1.6) Ensuite, on continue la dérivation :

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot (x - 4))

2 x - 4

⇥

3 \cdot (2 x - 4)

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

3 \cdot (2 x - 4)

6 x - 12

⇥

6 x - 12

La dérivée seconde est

6 x - 12

⇥1.7) Résolvons dans

ℝ

6 x - 12 = 0

⇥ⓘ On ajoute

12

aux deux membres

⇥

6 x = 12

⇥ⓘ On divise les deux membres par

6

⇥

x = \frac{12}{6}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{12}{6}

2

⇥Solution obtenue :

x = 2

⇥1.8) Dérivons :

\frac{d}{d x} (6 x - 12)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (6 x - 12)

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

\frac{d}{d x} (6 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (6 x)

6

⇥

6

x = 2

, le zéro de la dérivée seconde est d'ordre 1 : cet ordre est impair, donc la convexité change

Au voisinage de

2

, la dérivée seconde est négative à gauche et positive à droite : la courbe passe de concave à convexe

⇥

2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 7

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

⇥

8 - 6 \cdot 4 + 7

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

6 \cdot 4

24

⇥

8 - 24 + 7

⇥ⓘ On part de

8

et on recule de

24

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

8 - 24

-16

⇥

- 16 + 7

⇥ⓘ On part de

-16

et on avance de

7

sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro :

- 16 + 7

-9

⇥

-9

L'ordonnée est f(

2

) =

-9

▶Points d'inflexion :

{(2; -9)}

🖼/draw?f1=x%5E3+-+6*x%5E2+%2B+7&v=x&b=0.0&e=4.0&min=-28.2&max=10.2&points=2%2C-9