points d'inflexion de f(x)=x^4-54x^2+1

1) Pour

x^{4} - 54 x^{2} + 1

sur ℝ, cherchons où la dérivée seconde s'annule et change de signe

⇥1.1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{4} - 54 x^{2} + 1)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{4} - 54 x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + 0

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (- 54 x^{2})

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 54 x^{2})

-54 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

4 x^{3} - 54 \cdot 2 x

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

54 \cdot 2

(50 + 4) \cdot 2

50 \cdot 2 + 4 \cdot 2

100 + 8

108

⇥

4 x^{3} - 108 x

La dérivée première est

4 x^{3} - 108 x

⇥1.2) Dérivons :

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 108 x)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 108 x)

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 108 x)

⇥

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 108 x)

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 108 x)

-108

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

4 \cdot 3 x^{2} - 108

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

⇥

12 x^{2} - 108

⇥On met en facteur

12

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

12 x^{2} - 108

12 \cdot (x^{2} - 9)

⇥Facteur trouvé :

x^{2} - 9

La dérivée seconde est

12 \cdot (x^{2} - 9)

⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

12 \cdot (x^{2} - 9) = 0

⇥On simplifie l'expression par

12

⇥⇥Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 9 = 0

⇥⇥Les deux nombres dont le carré vaut

9

sont

-3

3

⇥⇥Solutions obtenues :

x = {-3; 3}

⇥1.4) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

12 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

12 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0)

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

12 \cdot 2 x

⇥ⅰ

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

24 x

x = -3

, le zéro de la dérivée seconde est d'ordre 1 : cet ordre est impair, donc la convexité change

Au voisinage de

-3

, la dérivée seconde est positive à gauche et négative à droite : la courbe passe de convexe à concave

⇥

{(-3)}^{4} - 54 \cdot {(-3)}^{2} + 1

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-3)}^{4}

(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)

81

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

⇥

81 - 54 \cdot 9 + 1

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

54 \cdot 9

(50 + 4) \cdot 9

50 \cdot 9 + 4 \cdot 9

450 + 36

486

⇥

81 - 486 + 1

⇥ⓘ On part de

81

et on recule de

486

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

81 - 486

-405

⇥

- 405 + 1

⇥ⓘ On part de

-405

et on avance de

1

sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro :

- 405 + 1

-404

⇥

-404

L'ordonnée est f(

-3

) =

-404

⇥1.5) Dérivons :

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

12 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

12 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0)

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

12 \cdot 2 x

⇥ⅰ

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

24 x

x = 3

, le zéro de la dérivée seconde est d'ordre 1 : cet ordre est impair, donc la convexité change

Au voisinage de

3

, la dérivée seconde est négative à gauche et positive à droite : la courbe passe de concave à convexe

⇥

3^{4} - 54 \cdot 3^{2} + 1

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{4}

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

81

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥

81 - 54 \cdot 9 + 1

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

54 \cdot 9

(50 + 4) \cdot 9

50 \cdot 9 + 4 \cdot 9

450 + 36

486

⇥

81 - 486 + 1

⇥ⓘ On part de

81

et on recule de

486

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

81 - 486

-405

⇥

- 405 + 1

⇥ⓘ On part de

-405

et on avance de

1

sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro :

- 405 + 1

-404

⇥

-404

L'ordonnée est f(

3

) =

-404

▶Points d'inflexion :

{(-3; -404); (3; -404)}

🖼/draw?f1=x%5E4+-+54*x%5E2+%2B+1&v=x&b=-6.0&e=6.0&min=-800.7458071039999&max=73.885982464&points=-3%2C-404%3B3%2C-404