points d'inflexion de x^3+2x^2+x-7

1) Pour

x^{3}

+ 2 x^{2}

+ x

- 7

sur ℝ, cherchons où la dérivée seconde s'annule et change de signe

⇥1.1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x^{2} + x - 7)

⇥

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (2 x^{2})

+ 1

+ 0

⇥ℹ

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

‖

\frac{d}{d x} (2 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

‖

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

3 x^{2} + 2 \cdot 2 x + 1

⇥

3 x^{2} + 4 x + 1

La dérivée première est

3 x^{2} + 4 x + 1

⇥1.2) Dérivons :

\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4 x + 1)

⇥

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + 0

⇥ℹ

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

‖

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

‖

\frac{d}{d x} (4 x)

4

⇥

3 \cdot 2 x + 4

⇥

6 x + 4

La dérivée seconde est

6 x + 4

⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

6 x + 4 = 0

⇥

6 x = -4

⇥

x = - \frac{4}{6}

⇥Solution obtenue :

x = - \frac{2}{3}

⇥1.4) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (6 x + 4)

⇥

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥

6

x = - \frac{2}{3}

, le zéro de la dérivée seconde est d'ordre 1 : cet ordre est impair, donc la convexité change

Au voisinage de

- \frac{2}{3}

, la dérivée seconde est négative à gauche et positive à droite : la courbe passe de concave à convexe

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3}

+ 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2}

- \frac{2}{3}

- 7

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} + \frac{- 2 - 7 \cdot 3}{3}

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} + \frac{- 2 - 21}{3}

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - \frac{23}{3}

⇥ℹ

{(- \frac{2}{3})}^{3}

\frac{{(-2)}^{3}}{3^{3}}

‖

{(- \frac{2}{3})}^{2}

\frac{{(-2)}^{2}}{3^{2}}

⇥

\frac{{(-2)}^{3}}{3^{3}} + 2 \cdot \frac{{(-2)}^{2}}{3^{2}} - \frac{23}{3}

⇥ℹ

{(-2)}^{3}

-8

‖

3^{3}

27

‖

{(-2)}^{2}

4

‖

3^{2}

9

⇥

- \frac{8}{27} + 2 \cdot \frac{4}{9} - \frac{23}{3}

⇥ℹ

2 \cdot \frac{4}{9}

\frac{8}{9}

‖

- \frac{8}{27} - \frac{23}{3}

\frac{- 8 - 23 \cdot 9}{27}

⇥

\frac{- 8 - 23 \cdot 9}{27} + \frac{8}{9}

⇥

\frac{- 8 - 207}{27} + \frac{8}{9}

⇥

- \frac{215}{27} + \frac{8}{9}

⇥

\frac{- 215 + 8 \cdot 3}{27}

⇥

\frac{- 215 + 24}{27}

⇥

- \frac{191}{27}

L'ordonnée est f(

- \frac{2}{3}

) =

- \frac{191}{27}

▶Points d'inflexion :

{(- \frac{2}{3}, - \frac{191}{27})}

🖼/draw?f1=x%5E3+%2B+2*x%5E2+%2B+x+-+7&v=x&b=-2.6666666666666665&e=1.3333333333333335&min=-15.87407407407407&max=1.7259259259259279&points=-2%2F3%2C-191%2F27